Determina si la integral desde menos infinito hasta 0 de 1/(3 por la raíz cuadrada de (x − 8)²) dx converge y, en caso afirmativo, evalúala.

Step-by-step solution

1. 1

   Convertir la raíz cuadrada en un valor absoluto. Para todo real $x$, $\sqrt{(x-8)^2}=|x-8|$ — no $x-8$. Esta distinción es la clave del problema, porque el intervalo de integración queda muy a la izquierda de $8$.

2. 2

   Quitar el valor absoluto en el intervalo concreto. En $(-\infty,0]$ se cumple $x\le 0<8$, así que $x-8<0$ y $|x-8|=8-x$. La integral queda $\int_{-\infty}^{0}\frac{dx}{3(8-x)}.$

3. 3

   Escribirla como un límite. El extremo inferior es infinito, así que por definición $\int_{-\infty}^{0}\frac{dx}{3(8-x)}=\lim_{a\to-\infty}\int_{a}^{0}\frac{dx}{3(8-x)}.$ El integrando en sí es continuo y positivo en todo el intervalo — la única fuente de problemas es que el intervalo no está acotado.

4. 4

   Hallar una primitiva. Sustituyendo $u=8-x$, $du=-dx$, resulta $\int\frac{dx}{3(8-x)}=-\frac13\int\frac{du}{u}=-\frac13\ln|8-x|+C.$

5. 5

   Evaluar el límite. $\lim_{a\to-\infty}\left[-\frac13\ln(8-x)\right]_{a}^{0}=\lim_{a\to-\infty}\left(-\frac13\ln 8+\frac13\ln(8-a)\right).$ Cuando $a\to-\infty$, $8-a\to+\infty$ y $\ln(8-a)\to+\infty$, así que la expresión crece sin cota.

6. 6

   Concluir. La integral diverge a $+\infty$. Es la cola habitual de $1/x$: el integrando decae como $\frac{1}{3|x|}$, y $\int^{\infty}\frac{dx}{x}$ es el caso límite que no llega a converger.