Determinar si la serie suma desde n = 1 hasta infinito de n/3^n converge o diverge, y hallar su suma.

Step-by-step solution

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   Se elige un criterio acorde con la forma de los términos. El término general $a_n = n/3^n$ mezcla un factor polinómico con uno exponencial. Los cocientes de términos así se simplifican muy bien porque $3^{n+1}/3^n$ se reduce a una constante, de modo que el criterio del cociente es la elección natural; un criterio de comparación también serviría, pero exige elegir con astucia la serie de comparación.

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   Se forma el cociente de dos términos consecutivos. Con $a_n = \dfrac{n}{3^n}$ y $a_{n+1} = \dfrac{n+1}{3^{n+1}}$:

   $\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{n+1}{3^{n+1}} \cdot \frac{3^n}{n} = \frac{n+1}{n}\cdot\frac{1}{3}$

   Todos los términos son positivos, así que los valores absolutos no cambian nada.

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   Se toma el límite y se aplica el criterio. Como $\dfrac{n+1}{n} = 1 + \dfrac{1}{n} \to 1$,

   $L = \lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \frac{1}{3}$

   Al ser $L = \tfrac13 < 1$, el criterio del cociente garantiza que la serie converge absolutamente. Observa que el factor polinómico $n$ no influye en el límite: el decrecimiento geométrico siempre gana al crecimiento polinómico.

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   Se obtiene la suma exacta con la fórmula aritmético-geométrica. La convergencia por sí sola no da un valor, pero esta serie es un caso estándar. Derivando la serie geométrica $\sum_{n\ge0} r^n = \dfrac{1}{1-r}$ y multiplicando por $r$ se obtiene, para $|r|<1$,

   $\sum_{n=1}^{\infty} n r^{n} = \frac{r}{(1-r)^2}$

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   Se sustituye $r = 1/3$. Escribiendo $\dfrac{n}{3^n} = n\left(\dfrac13\right)^{n}$:

   $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{3^n} = \frac{\tfrac13}{\left(1-\tfrac13\right)^2} = \frac{\tfrac13}{\tfrac49} = \frac13\cdot\frac94 = \frac34$

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   Comprobación numérica. Sumando los primeros términos se obtiene $0.3333 + 0.2222 + 0.1111 + 0.0494 + 0.0206 + \cdots$, y las sumas parciales suben hasta $0.75000$ y se quedan ahí, en coincidencia con el valor exacto $3/4$.