Calcula el límite de (√(x + 11) − 6)/(x − 5) cuando x tiende a 5, o explica por qué no existe.

Step-by-step solution

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   Sustituir antes de elegir una técnica. La forma $\dfrac{\sqrt{u(x)}-c}{x-a}$ suele sugerir «racionalizar el numerador», pero eso solo es correcto cuando el numerador realmente se anula. Conviene comprobarlo:

   $\sqrt{5+11}-6=\sqrt{16}-6=4-6=-2$

   y el denominador es $5-5=0$. Así que la forma es $\dfrac{-2}{0}$, y no $\dfrac{0}{0}$.

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   Ver por qué aquí falla el truco habitual del conjugado. Multiplicar por $\dfrac{\sqrt{x+11}+6}{\sqrt{x+11}+6}$ da como numerador $(x+11)-36=x-25$, o sea

   $\frac{\sqrt{x+11}-6}{x-5}=\frac{x-25}{(x-5)\left(\sqrt{x+11}+6\right)}$

   En $x=5$ el nuevo numerador vale $-20\ne 0$; el factor $(x-5)$ sigue solo en el denominador. No se cancela nada, que es justo el aspecto de una auténtica $\tfrac{c}{0}$. (Un desliz frecuente es «factorizar» $x-25$ como $(x-5)(x+5)$, pero $(x-5)(x+5)=x^2-25$, no $x-25$.)

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   Calcular los dos límites laterales. Cerca de $x=5$ el numerador está próximo a $-2<0$, así que el signo del cociente es el opuesto al signo de $x-5$:

   $\lim_{x\to 5^{+}}\frac{\sqrt{x+11}-6}{x-5}=-\infty,\qquad \lim_{x\to 5^{-}}\frac{\sqrt{x+11}-6}{x-5}=+\infty$

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   Confirmar numéricamente. En $x=5.0001$ el cociente vale aproximadamente $-2.0\times10^{4}$; en $x=4.9999$ vale aproximadamente $+2.0\times10^{4}$. Los dos lados se disparan en direcciones opuestas.

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   Enunciar la conclusión. Como los límites laterales no coinciden (y ni siquiera son finitos), el límite bilateral no existe; la recta $x=5$ es una asíntota vertical de esta función. La regla general que conviene retener: solo $\tfrac00$ es indeterminado; un número distinto de cero dividido entre cero da siempre un límite infinito o inexistente, nunca un valor finito.