Resuelva la ecuación diferencial d/dx(dy/dx) = e^y, es decir y'' = e^y.

Step-by-step solution

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   Reconozca que la ecuación es autónoma. La variable independiente $x$ no aparece de forma explícita: solo aparecen $y$ y sus derivadas. Para ese tipo de ecuaciones, el movimiento estándar es tomar como variable independiente a $y$ y no a $x$, lo que baja el orden de dos a uno.

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   Sustituya $v=y'$ y aplique la regla de la cadena en $y$. Escribiendo $v$ como función de $y$,

   $y''=\frac{dv}{dx}=\frac{dv}{dy}\cdot\frac{dy}{dx}=v\frac{dv}{dy}.$

   La ecuación se convierte en la ecuación separable de primer orden

   $v\frac{dv}{dy}=e^{y}.$

   Esta identidad $v\,\frac{dv}{dy}$ es toda la técnica; sin ella, la sustitución $v=y'$ deja una ecuación con tres variables.

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   Separe e integre para obtener la integral primera. De $v\,dv=e^{y}\,dy$:

   $\frac{v^{2}}{2}=e^{y}+C\;\Longrightarrow\;\left(\frac{dy}{dx}\right)^{2}=2e^{y}+C_{1}.$

   Es una cantidad conservada: el análogo mecánico es la conservación de la energía de una partícula en el potencial $-e^{y}$. Tomando la raíz cuadrada,

   $\frac{dy}{dx}=\pm\sqrt{2e^{y}+C_{1}}.$

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   Separe por segunda vez. La ecuación que queda es separable en $y$ y $x$:

   $\int\frac{dy}{\sqrt{2e^{y}+C_{1}}}=\pm x+C_{2}.$

   Para $C_{1}=k>0$, la sustitución $u=e^{y}$ convierte el lado izquierdo en $\int\frac{du}{u\sqrt{2u+k}}$, una forma estándar que da

   $\frac{1}{\sqrt{k}}\ln\left|\frac{\sqrt{2e^{y}+k}-\sqrt{k}}{\sqrt{2e^{y}+k}+\sqrt{k}}\right|=\pm x+C_{2}.$

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   Invierta para llegar a una solución explícita. Despejar $y$ de esa relación logarítmica hace que el álgebra colapse en un seno hiperbólico:

   $y=\ln\!\frac{C_{1}}{2}-2\ln\left|\sinh\!\left(\frac{\sqrt{C_{1}}\,(x-x_{0})}{2}\right)\right|,\qquad C_{1}>0,$

   donde $x_{0}$ absorbe a $C_{2}$. El caso degenerado $C_{1}=0$ es más simple y vale la pena citarlo aparte:

   $y=-2\ln\left|c-\frac{x}{\sqrt2}\right|.$

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   Verifique numéricamente las dos formas. Para $C_{1}=1.5$, $x_{0}=0.3$: una estimación de $y''$ por diferencias segundas en $x=1.4$ da $1.42404$ frente a $e^{y}=1.42404$ ✓, y en $x=2.2$ da $0.35950$ frente a $0.35950$ ✓. Para la rama $C_{1}=0$ con $c=3$: en $x=1$, $y''=0.190210$ y $e^{y}=0.190210$ ✓. Las dos soluciones explotan donde se anula el argumento del logaritmo, y eso es genuino: la solución llega a infinito en un $x$ finito.