Halla la integral indefinida de x² · sen(x) respecto de x.

Step-by-step solution

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   Elige $u$ de modo que derivar reduzca el polinomio. En $\int u\,dv=uv-\int v\,du$ el objetivo es que la integral sobrante sea más simple. Tomar $u=x^{2}$ hace que $du=2x\,dx$, y baja el grado de $2$ a $1$; tomar en cambio $u=\sin x$ subiría el grado del polinomio y empeoraría las cosas. Esta es la guía ILATE en acción: el factor algebraico es el que hay que derivar.

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   Primera aplicación. Con $u=x^{2}$, $dv=\sin x\,dx$ (así que $v=-\cos x$):

   $\int x^{2}\sin x\,dx=-x^{2}\cos x-\int\left(-\cos x\right)(2x)\,dx=-x^{2}\cos x+\int 2x\cos x\,dx.$

   Los dos signos menos —uno de $v=-\cos x$ y otro de la fórmula— se combinan en un más, y ahí es donde suelen colarse los errores de signo.

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   Segunda aplicación sobre la integral restante. Para $\int x\cos x\,dx$ toma $u=x$, $dv=\cos x\,dx$, así que $du=dx$, $v=\sin x$:

   $\int x\cos x\,dx=x\sin x-\int\sin x\,dx=x\sin x+\cos x.$

   El grado del polinomio ya es $0$, así que el proceso termina: un polinomio de grado $n$ necesita exactamente $n$ rondas de partes.

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   Reúne las piezas. Multiplicando el segundo resultado por el factor $2$ y sustituyendo:

   $\int 2x\cos x\,dx=2x\sin x+2\cos x,$

   $\int x^{2}\sin x\,dx=-x^{2}\cos x+2x\sin x+2\cos x+C.$

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   Verifica derivando. Aplicando la regla del producto a cada término:

   $\frac{d}{dx}\left(-x^{2}\cos x\right)=-2x\cos x+x^{2}\sin x,\quad \frac{d}{dx}\left(2x\sin x\right)=2\sin x+2x\cos x,\quad \frac{d}{dx}\left(2\cos x\right)=-2\sin x.$

   Al sumar: la pareja $\mp2x\cos x$ se cancela, la pareja $\pm2\sin x$ se cancela, y queda exactamente $x^{2}\sin x$ ✓. Una comprobación numérica en $x=1.3$ da $1.6284133$ por los dos caminos ✓.