Calcula la integral triple de 4x²·z³·y con x de 0 a 1, y de 1 a 2 y z de 1 a 2.

Step-by-step solution

1. 1

   Lee el orden de integración en los diferenciales. Los diferenciales aparecen como $dx\,dy\,dz$, así que la variable más interior es $x$ (límites $0$ a $1$), después $y$ (límites $1$ a $2$) y por último $z$ (límites $1$ a $2$). Los seis límites son constantes, de modo que se trata de una integral sobre una caja rectangular y no interviene ninguna curva frontera.

2. 2

   Integra en x. Tratando $z^{3}$ e $y$ como constantes, $\int_{0}^{1}4x^{2}z^{3}y\,dx=4z^{3}y\left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{1}=\frac{4}{3}z^{3}y .$

3. 3

   Integra en y. Ahora $\frac43 z^{3}$ es constante respecto de $y$: $\int_{1}^{2}\frac{4}{3}z^{3}y\,dy=\frac{4}{3}z^{3}\left[\frac{y^{2}}{2}\right]_{1}^{2}=\frac{4}{3}z^{3}\cdot\frac{3}{2}=2z^{3}.$

4. 4

   Integra en z. $\int_{1}^{2}2z^{3}\,dz=\left[\frac{z^{4}}{2}\right]_{1}^{2}=\frac{16}{2}-\frac{1}{2}=\frac{15}{2}.$

5. 5

   Verifica separando los factores. Como el integrando se factoriza en $4\cdot x^{2}\cdot y\cdot z^{3}$ y la caja tiene límites constantes, la integral es el producto de integrales de una variable: $4\cdot\frac13\cdot\frac32\cdot\frac{15}{4}=\frac{15}{2}$, que coincide con el cálculo iterado.