Calcula el límite cuando x tiende a 1 de (3x³ − 2x − 1)/(5x² + 3x − 8).

Step-by-step solution

1. 1

   Sustituye primero para ver de qué tipo de límite se trata. La sustitución directa es siempre el primer movimiento:

   $3(1)^3-2(1)-1=0,\qquad 5(1)^2+3(1)-8=0$

   El resultado es $\tfrac{0}{0}$, que no es una respuesta: es una señal de que los dos polinomios comparten un factor.

2. 2

   Usa el teorema del factor. Un polinomio $p$ con $p(1)=0$ es divisible entre $x-1$. Los nuestros se anulan ambos en $x=1$, así que ambos llevan ese factor. Dividiendo el numerador entre $x-1$:

   $3x^3-2x-1=(x-1)(3x^2+3x+1)$

   Desarrollar de vuelta lo confirma: $3x^3+3x^2+x-3x^2-3x-1=3x^3-2x-1$.

3. 3

   Factoriza el denominador de la misma manera.

   $5x^2+3x-8=(x-1)(5x+8)$

   Comprobación: $5x^2+8x-5x-8=5x^2+3x-8$. Ambas factorizaciones son exactas, así que no se ha aproximado nada.

4. 4

   Cancela, y observa por qué es legítimo. Un límite cuando $x\to 1$ solo mira los $x\neq 1$, y para $x\neq 1$ el factor $x-1$ es un número distinto de cero entre el que se puede dividir:

   $\frac{(x-1)(3x^2+3x+1)}{(x-1)(5x+8)}=\frac{3x^2+3x+1}{5x+8}$

   La nueva función difiere de la anterior solo en el único punto $x=1$, que el límite ignora.

5. 5

   Vuelve a sustituir en la fracción reducida. El denominador ya no se anula ($5+8=13\neq 0$), así que ahora la sustitución sí funciona:

   $\lim_{x\to 1}\frac{3x^2+3x+1}{5x+8}=\frac{3+3+1}{5+8}=\frac{7}{13}$

6. 6

   Revisa el resultado numéricamente. En $x=1.001$ el cociente original vale $0.53895$ y en $x=0.999$ vale $0.53798$; ambos encierran a $\tfrac{7}{13}=0.53846$, así que el valor queda confirmado por los dos lados.