Indicar la forma indeterminada del límite de (e^x + x)^(1/x) cuando x tiende a 0 y luego usar la regla de L'Hôpital para evaluarlo.

Step-by-step solution

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   Identificar la forma indeterminada. Cuando $x\to 0$, la base $e^x + x \to 1$ y el exponente $\tfrac{1}{x} \to \pm\infty$. Así que la forma es $1^{\infty}$: indeterminada, porque una base apenas superior a $1$ elevada a una potencia enorme puede tender a cualquier cosa. No es simplemente $1$.

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   Tomar logaritmos para convertir la potencia en un cociente. Sea $L$ el límite y se define $y = (e^x+x)^{1/x}$:

   $\ln y = \frac{\ln(e^{x}+x)}{x}$

   Cuando $x\to 0$ el numerador $\to \ln 1 = 0$ y el denominador $\to 0$, así que ahora es $\tfrac{0}{0}$ y se puede aplicar la regla de L'Hôpital.

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   Derivar numerador y denominador. Para el numerador se usa la regla de la cadena:

   $\frac{d}{dx}\ln(e^x+x) = \frac{e^{x}+1}{e^{x}+x}, \qquad \frac{d}{dx}x = 1$

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   Evaluar el nuevo cociente en $x = 0$. Ya no es indeterminado:

   $\lim_{x\to 0}\frac{e^{x}+1}{e^{x}+x} = \frac{1+1}{1+0} = \frac{2}{1} = 2$

   Así que $\ln L = 2$.

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   Deshacer el logaritmo. Esta exponenciación final es el paso que más se olvida, y deja la respuesta en $2$:

   $L = e^{2} \approx 7.389056$

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   Verificar numéricamente por ambos lados. En $x = 0.001$: $e^{0.001}+0.001 = 1.0020010$, y $1.0020010^{1000} = 7.396$. En $x = -0.001$: $e^{-0.001}-0.001 = 0.9980005$, y $0.9980005^{-1000} = 7.382$. Ambos acotan $e^2 = 7.38906$ ✓, y un límite simbólico devuelve exactamente $e^2$.