Sea S la mitad inferior de la esfera x² + y² + z² = 2, orientada hacia el lado interior. Calcula la integral de superficie de (x² + xz) dy dz + (y² + yz) dz dx + (2z² + 1) dx dy.

Step-by-step solution

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   Leerla como un flujo. La integral es $\iint_\Sigma\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}$ con $\mathbf{F}=(x^2+xz,\;y^2+yz,\;2z^2+1)$. Como $\Sigma$ no es cerrada, el teorema de la divergencia necesita una tapa.

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   Cerrar la superficie con el disco plano. Se añade $D:\{x^2+y^2\le 2,\ z=0\}$. Juntas, $\Sigma$ y $D$ encierran la semibola inferior $V$. Sobre la frontera cerrada, la normal exterior apunta hacia abajo y hacia afuera en $\Sigma$, y hacia arriba ($+\mathbf{k}$) en $D$.

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   Aplicar Gauss. $\nabla\cdot\mathbf{F}=(2x+z)+(2y+z)+4z=2x+2y+6z$. Por la simetría de $V$ en $x$ y en $y$, las partes $2x$ y $2y$ integran cero, y queda $\iint_{\partial V,\text{ext}}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}=6\iiint_V z\,dV.$

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   Evaluar la integral triple restante. En coordenadas esféricas con $0\le\rho\le\sqrt2$, $\tfrac\pi2\le\varphi\le\pi$, $\iiint_V z\,dV=2\pi\int_{\pi/2}^{\pi}\cos\varphi\sin\varphi\,d\varphi\int_0^{\sqrt2}\rho^3\,d\rho=2\pi\left(-\frac12\right)(1)=-\pi,$ así que el flujo exterior por la superficie cerrada es $6(-\pi)=-6\pi$.

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   Restar el disco. Sobre $D$ se tiene $z=0$, de modo que $dy\,dz$ y $dz\,dx$ no aportan nada y la tercera componente vale $2(0)^2+1=1$. El flujo hacia arriba es simplemente el área del disco: $\pi(\sqrt2)^2=2\pi$. Por lo tanto, el flujo exterior a través de $\Sigma$ es $-6\pi-2\pi=-8\pi$.

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   Cambiar al lado interior. El enunciado pide la orientación interior, que invierte la normal: $\iint_{\Sigma,\text{int}}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}=-(-8\pi)=8\pi.$ Así que el hueco se rellena con $8$.