Calcula la integral de línea de (e^y + x) dx + (x e^y − 2y) dy a lo largo del camino triangular cerrado que pasa por los puntos (0,0), (0,1) y (1,2).

Step-by-step solution

1. 1

   Prefiere el teorema de Green a la parametrización directa. El camino es cerrado y suave por tramos, y parametrizar los tres segmentos por separado implicaría tres integrales engorrosas con $e^y$. El teorema de Green convierte todo el problema en una sola integral doble sobre el triángulo encerrado $D$:

   $\oint_L P\,dx+Q\,dy=\iint_D\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dA$

2. 2

   Identifica P y Q.

   $P(x,y)=e^{y}+x,\qquad Q(x,y)=xe^{y}-2y$

3. 3

   Calcula las dos derivadas parciales. Derivar $Q$ respecto a $x$ trata a $y$ como constante, así que $e^y$ es solo un factor constante y el término $-2y$ desaparece:

   $\frac{\partial Q}{\partial x}=e^{y}$

   Al derivar $P$ respecto a $y$, desaparece el término $x$:

   $\frac{\partial P}{\partial y}=e^{y}$

4. 4

   Resta e integra.

   $\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=e^{y}-e^{y}=0$

   así que

   $\oint_L P\,dx+Q\,dy=\iint_D 0\,dA=0$

   $\boxed{0}$

5. 5

   Explica por qué la forma del triángulo era irrelevante. Como $\partial Q/\partial x=\partial P/\partial y$ en todo el plano (un dominio simplemente conexo), el campo es conservativo: es el gradiente del potencial

   $\varphi(x,y)=xe^{y}+\tfrac{x^2}{2}-y^2$

   ya que $\varphi_x=e^y+x=P$ y $\varphi_y=xe^y-2y=Q$. Por tanto cualquier lazo cerrado regresa al mismo valor del potencial, lo que da $0$: los tres vértices dados podrían haberse sustituido por cualesquiera otros.

6. 6

   Comprueba directamente con el potencial. Recorriendo $(0,0)\to(0,1)\to(1,2)\to(0,0)$, los valores de $\varphi$ son $0$, $-1$, $e^2+\tfrac12-4$, y de nuevo $0$. Al sumar las tres diferencias se cancelan en cascada y dan $0$, lo que confirma el resultado del teorema de Green.