Halla la derivada de y = x².

Step-by-step solution

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   Identifica la forma de la función. $y=x^2$ es una única potencia de $x$ con exponente constante, que es exactamente el caso para el que está pensada la regla de la potencia. No hace falta ninguna regla del producto, del cociente ni de la cadena.

2. 2

   Enuncia la regla de la potencia. Para cualquier exponente constante $n$,

   $\frac{d}{dx}x^n=n\,x^{\,n-1}$

   El exponente pasa a ser el coeficiente, y el exponente nuevo es una unidad menor.

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   Aplícala con n = 2.

   $\frac{d}{dx}x^2=2\,x^{2-1}=2x^1=2x$

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   Confírmalo con la definición por límites. De aquí es de donde sale realmente el $2$:

   $\frac{(x+h)^2-x^2}{h}=\frac{x^2+2xh+h^2-x^2}{h}=\frac{2xh+h^2}{h}=2x+h$

   Al hacer $h\to0$ queda $2x$ ✓. El término cruzado $2xh$ del desarrollo del binomio es el origen completo del coeficiente.

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   Interpreta el resultado geométricamente. La derivada $2x$ dice que la pendiente de la parábola es $0$ en el vértice $x=0$, negativa a la izquierda y positiva a la derecha, y que crece de forma lineal, lo que encaja con la forma de $y=x^2$.

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   Comprueba con un valor numérico. En $x=2.5$ la fórmula predice una pendiente de $5$; el cociente de diferencias simétrico $\frac{f(2.5001)-f(2.4999)}{0.0002}=5.0000$ ✓.