Calcula la integral de e^(6x) respecto de x.

Step-by-step solution

1. 1

   Recuerda por qué aparece un factor. Derivar $e^{6x}$ saca la derivada interior:

   $\frac{d}{dx}e^{6x}=6e^{6x}$

   así que integrar tiene que deshacer ese $6$ de más.

2. 2

   Enuncia la regla. Para cualquier constante no nula $k$:

   $\int e^{kx}\,dx=\frac{1}{k}e^{kx}+C$

3. 3

   Aplícala con $k=6$.

   $\int e^{6x}\,dx=\frac{1}{6}e^{6x}+C$

4. 4

   Deduce lo mismo por sustitución, como comprobación cruzada. Sea $u=6x$, así que $du=6\,dx$ y $dx=\tfrac{du}{6}$:

   $\int e^{u}\frac{du}{6}=\frac{1}{6}e^{u}+C=\frac{1}{6}e^{6x}+C$

5. 5

   Verifica derivando. $\tfrac{d}{dx}\left(\tfrac16 e^{6x}\right)=\tfrac16\cdot 6e^{6x}=e^{6x}$ $\checkmark$. Numéricamente en $x=0.3$: el integrando vale $e^{1.8}\approx 6.0496$, y un cociente de diferencias de $\tfrac16 e^{6x}$ da el mismo valor $\checkmark$.