Calcula el límite de (1 − x)/(√(5 − x²) − 2) cuando x tiende a 1.

Step-by-step solution

1. 1

   Comprueba la forma indeterminada. En $x=1$ el numerador vale $0$ y el denominador vale $\sqrt{4}-2=0$, así que esto es $\frac{0}{0}$ y hace falta trabajo algebraico.

2. 2

   Racionaliza el denominador, no el numerador. Esta vez el radical está abajo, así que multiplica arriba y abajo por $\sqrt{5-x^2}+2$. El denominador se convierte en $\left(5-x^2\right)-4=1-x^2$.

3. 3

   Reescribe el cociente completo. La expresión es ahora $\frac{(1-x)\left(\sqrt{5-x^2}+2\right)}{1-x^2}$.

4. 4

   Factoriza y cancela. Como $1-x^2=(1-x)(1+x)$, el problemático $(1-x)$ se cancela y queda $\frac{\sqrt{5-x^2}+2}{1+x}$ para todo $x\neq 1$.

5. 5

   Sustituye $x=1$. La forma reducida es continua en $1$: $\frac{\sqrt{4}+2}{2}=\frac{4}{2}=2$.

6. 6

   Confirma con números. Evaluar el cociente original en $x=1+10^{-8}$ devuelve $2.0000$, lo que coincide exactamente con el resultado algebraico.