Calcula la integral de x² · sen(x) desde x = 0 hasta x = π.

Step-by-step solution

1. 1

   Elige $u$ de modo que el polinomio se haga más pequeño. Con un polinomio por una función trigonométrica, toma siempre como $u$ el polinomio: derivarlo baja su grado, mientras que $\sin x$ se integra como $-\cos x$ sin crecer. Toma

   $u=x^{2},\quad dv=\sin x\,dx\ \Longrightarrow\ du=2x\,dx,\quad v=-\cos x$

   Elegirlo al revés subiría el grado y el proceso no terminaría nunca.

2. 2

   Aplica la integración por partes una vez.

   $\int x^{2}\sin x\,dx=-x^{2}\cos x+\int 2x\cos x\,dx$

   La integral que queda tiene grado $1$ en lugar de $2$, así que una pasada más la termina.

3. 3

   Aplícala una segunda vez a $\int x\cos x\,dx$. Ahora $u=x$, $dv=\cos x\,dx$, de modo que $du=dx$ y $v=\sin x$:

   $\int x\cos x\,dx=x\sin x-\int\sin x\,dx=x\sin x+\cos x$

   Por tanto $\int 2x\cos x\,dx=2x\sin x+2\cos x$.

4. 4

   Escribe la primitiva completa.

   $\int x^{2}\sin x\,dx=-x^{2}\cos x+2x\sin x+2\cos x+C$

   (El grado 2 requirió exactamente dos pasadas; un polinomio de grado $n$ necesita $n$).

5. 5

   Sustituye los límites. En $x=\pi$, usando $\cos\pi=-1$ y $\sin\pi=0$:

   $-\pi^{2}(-1)+0+2(-1)=\pi^{2}-2$

   En $x=0$, usando $\cos 0=1$ y $\sin 0=0$:

   $0+0+2=2$

6. 6

   Resta y comprueba.

   $\int_{0}^{\pi}x^{2}\sin x\,dx=\left(\pi^{2}-2\right)-2=\pi^{2}-4\approx 5.8696$

   Una estimación numérica por Simpson da $5.8696044011$, que coincide con $\pi^{2}-4=5.8696044011$ ✓. La respuesta es positiva, como debe ser: $\sin x\ge 0$ en todo $[0,\pi]$.