Calcula la integral triple sobre todo R³ de exp(−alfa por (x² + y² + z²)) multiplicado por la suma: a cos(xξ + yη + zζ) más b sen(xξ + yη + zζ) más c por (x² + y² + z²).

Step-by-step solution

1. 1

   Pasa a notación vectorial y separa en tres integrales. Escribe $\mathbf{x} = (x,y,z)$, $\mathbf{k} = (\xi,\eta,\zeta)$, $r = \|\mathbf{x}\|$ y $k = \|\mathbf{k}\|$. Entonces $x\xi + y\eta + z\zeta = \mathbf{x}\cdot\mathbf{k}$ y

   $I = aI_1 + bI_2 + cI_3$

   con $I_1 = \iiint e^{-\alpha r^2}\cos(\mathbf{x}\cdot\mathbf{k})\,d^3x$, $I_2$ igual pero con seno, e $I_3 = \iiint e^{-\alpha r^2} r^2\,d^3x$. La condición $\alpha > 0$ es lo que hace que las tres converjan.

2. 2

   Anula el término del seno por paridad. Bajo $\mathbf{x} \mapsto -\mathbf{x}$ la gaussiana $e^{-\alpha r^2}$ no cambia, mientras que $\sin(\mathbf{x}\cdot\mathbf{k})$ cambia de signo, así que el integrando es impar sobre un dominio simétrico respecto del origen:

   $I_2 = 0$

   Por lo tanto, el coeficiente $b$ nunca aparece en la respuesta.

3. 3

   Calcula el término del coseno como una transformada de Fourier. La transformada gaussiana estándar en 3D es

   $\iiint_{\mathbb{R}^3} e^{-\alpha r^2} e^{i\mathbf{x}\cdot\mathbf{k}}\,d^3x = \left(\frac{\pi}{\alpha}\right)^{3/2} e^{-k^2/(4\alpha)}$

   (cada dirección cartesiana aporta $\sqrt{\pi/\alpha}\,e^{-k_i^2/4\alpha}$ tras completar el cuadrado). Tomando partes reales —la parte imaginaria es exactamente $I_2 = 0$— se obtiene

   $I_1 = \left(\frac{\pi}{\alpha}\right)^{3/2} e^{-k^2/(4\alpha)}$

4. 4

   Calcula el término en r² en coordenadas esféricas. El integrando depende solo de $r$, así que $d^3x = 4\pi r^2\,dr$:

   $I_3 = 4\pi\int_0^{\infty} r^4 e^{-\alpha r^2}\,dr$

   La sustitución $u = \alpha r^2$ la convierte en una integral gamma:

   $\int_0^\infty r^4 e^{-\alpha r^2}dr = \frac{\Gamma(5/2)}{2\alpha^{5/2}} = \frac{3\sqrt{\pi}}{8\alpha^{5/2}}$

   usando $\Gamma(5/2) = \tfrac{3}{4}\sqrt{\pi}$. Por lo tanto, $I_3 = \dfrac{3\pi^{3/2}}{2\alpha^{5/2}}$.

5. 5

   Reúne el resultado.

   $I = a\left(\frac{\pi}{\alpha}\right)^{3/2} e^{-(\xi^2+\eta^2+\zeta^2)/(4\alpha)} + \frac{3c\,\pi^{3/2}}{2\alpha^{5/2}}$

   Fíjate en la estructura: la parte con $a$ decae en $k$ (una gaussiana en el espacio de frecuencias), mientras que la parte con $c$ es una constante pura independiente de $\mathbf{k}$.

6. 6

   Verifica numéricamente. Con $\alpha = 0.7$, $\mathbf{k} = (0.3, -0.5, 1.1)$, $a = 1.3$, $b = 2.1$, $c = 0.9$, la forma cerrada da $25.4420947$. Una malla de Gauss-Legendre de $90$ puntos sobre $[-6,6]^3$ (la gaussiana es despreciable más allá) da $25.4420947$: coinciden en ocho cifras, incluido el hecho de que el término con $b = 2.1$ no aporta nada.