La base de un sólido es la región del primer cuadrante limitada por el eje x, el eje y, la curva y = e^x y la recta vertical x = 3. Cada sección perpendicular al eje x es un cuadrado. Halla el volumen del sólido.

Step-by-step solution

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   Lee la base rebanada vertical a rebanada vertical. Los problemas de volumen por secciones nunca necesitan la forma del sólido completo, solo el tamaño de una rebanada. Fija un $x$ entre $0$ y $3$ y corta la base verticalmente. La parte inferior de la base es el eje $x$ ($y=0$) y la superior es la curva $y=e^{x}$, así que esa rebanada tiene longitud

   $L(x)=e^{x}-0=e^{x}.$

   El eje $y$ y la recta $x=3$ solo indican dónde empieza y dónde termina el rebanado: $0\le x\le 3$.

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   Convierte la longitud de la rebanada en un área de sección. La sección que se levanta sobre esa rebanada es un cuadrado, y la rebanada es uno de sus lados completos. Así que el lado mide $s=e^{x}$ y el área de la sección es

   $A(x)=s^{2}=\left(e^{x}\right)^{2}=e^{2x}.$

   La regla $(e^{x})^{2}=e^{2x}$ es lo que vuelve elemental esta integral, de modo que el cuadrado hay que hacerlo antes de integrar, no después.

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   Plantea la integral de volumen. Apilando las losas de área $A(x)$ y espesor $dx$ desde $x=0$ hasta $x=3$ se obtiene

   $V=\int_{0}^{3}A(x)\,dx=\int_{0}^{3}e^{2x}\,dx.$

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   Integra. Con la sustitución $u=2x$ (o simplemente reconociendo el patrón), $\int e^{2x}\,dx=\tfrac12 e^{2x}$, porque al derivar $\tfrac12 e^{2x}$ reaparece el factor $2$:

   $V=\left[\frac{1}{2}e^{2x}\right]_{0}^{3}=\frac{1}{2}e^{6}-\frac{1}{2}e^{0}.$

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   Evalúa y comprueba el orden de magnitud. Como $e^{0}=1$,

   $V=\frac{e^{6}-1}{2}\approx 201.214.$

   Una comprobación rápida: la sección mayor (en $x=3$) tiene área $e^{6}\approx 403.4$ y la menor (en $x=0$) tiene área $1$, así que un volumen de unos $201$ repartido a lo largo de $3$ es del orden de magnitud correcto: las áreas crecen tan deprisa que casi todo el volumen se concentra cerca de $x=3$. La integración numérica de $e^{2x}$ en $[0,3]$ devuelve $201.21440$, coincidiendo con el valor exacto.