Hallar la derivada de y = (x − 1)^x.

Step-by-step solution

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   Entender por qué fallan las reglas habituales. La regla de la potencia $\frac{d}{dx}x^n=nx^{n-1}$ exige un exponente constante, y la regla exponencial $\frac{d}{dx}a^x=a^x\ln a$ exige una base constante. Aquí varían tanto la base $x-1$ como el exponente $x$, así que no se aplica ninguna de las dos y mezclarlas lleva a un disparate. La solución es la derivación logarítmica.

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   Fijar primero el dominio. Para que $(x-1)^x$ esté definida como potencia real con exponente variable hace falta una base positiva:

   $x-1>0\qquad\Longleftrightarrow\qquad x>1$

   Todo lo que sigue es válido en $(1,\infty)$, que es justamente donde $\ln(x-1)$ tiene sentido.

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   Tomar logaritmo natural en ambos lados. El logaritmo convierte el exponente en un coeficiente, que es justamente lo que se busca:

   $\ln y=\ln\bigl((x-1)^x\bigr)=x\ln(x-1)$

   El lado derecho es ahora un producto corriente de dos funciones conocidas.

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   Derivar ambos lados respecto de $x$. A la izquierda, $y$ es función de $x$, así que la regla de la cadena da $\frac{1}{y}\,y'$: aquí es donde entra la derivación implícita. A la derecha se usa la regla del producto:

   $\frac{d}{dx}\bigl(x\ln(x-1)\bigr)=1\cdot\ln(x-1)+x\cdot\frac{1}{x-1}$

   de donde

   $\frac{y'}{y}=\ln(x-1)+\frac{x}{x-1}$

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   Despejar $y'$ y volver a sustituir la función original. Multiplicando por $y$ y reemplazando $y=(x-1)^x$:

   $\boxed{\,y'=(x-1)^x\left(\ln(x-1)+\frac{x}{x-1}\right)\,}$

   El resultado tiene que contener la expresión original como factor: es lo típico de la derivación logarítmica, y olvidar el $(x-1)^x$ de delante es el error habitual.

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   Comprobar numéricamente. En $x=3$ la fórmula da $2^3\left(\ln 2+\tfrac{3}{2}\right)=8(0.6931+1.5)\approx 17.545$. Un cociente de diferencias centradas con $h=10^{-6}$ sobre $(x-1)^x$ en $x=3$ devuelve $17.5452$, así que la derivada es correcta. La misma plantilla sirve para cualquier $f(x)^{g(x)}$: su derivada es $f^g\left(g'\ln f+\frac{gf'}{f}\right)$.