Para la integral de (x − 4y) sobre el rectángulo −1 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2: describir la región, calcular la integral doble y después invertir el orden de integración y volver a calcularla.

Step-by-step solution

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   (a) Identificar la región. Los cuatro límites son constantes, así que la región es el rectángulo

   $D=\{(x,y):-1\le x\le 1,\ 0\le y\le 2\}$

   con vértices $(-1,0)$, $(1,0)$, $(1,2)$ y $(-1,2)$.

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   (b) Aprovechar la simetría del intervalo en x. El intervalo $[-1,1]$ es simétrico respecto a $0$ y $x$ es una función impar, así que

   $\int_{-1}^{1}x\,dx=\left[\frac{x^{2}}{2}\right]_{-1}^{1}=\frac12-\frac12=0$

   Esto elimina todo el término en $x$ antes de hacer cualquier cálculo en $y$.

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   Integrar el término restante respecto a x. Manteniendo $y$ constante,

   $\int_{-1}^{1}(-4y)\,dx=-4y\big[x\big]_{-1}^{1}=-4y(2)=-8y$

   así que la integral interior vale $0-8y=-8y$.

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   Integrar respecto a y.

   $\int_{0}^{2}(-8y)\,dy=\left[-4y^{2}\right]_{0}^{2}=-16$

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   (c) Invertir el orden y confirmar.

   $\int_{-1}^{1}\!\!\int_{0}^{2}(x-4y)\,dy\,dx=\int_{-1}^{1}\left[xy-2y^{2}\right]_{0}^{2}dx=\int_{-1}^{1}(2x-8)\,dx=\big[x^{2}-8x\big]_{-1}^{1}=(1-8)-(1+8)=-16$

   $\boxed{-16}$

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   Revisar el signo y el tamaño. Sobre este rectángulo $y$ llega hasta $2$, así que $-4y$ alcanza $-8$ mientras que $x$ no aporta nada en promedio; el valor medio del integrando es entonces $-4\bar y=-4$, y el área del rectángulo es $2\times 2=4$, lo que da $-4\times 4=-16$ ✓.