Sea f derivable en todo R. Demuestra que f es continua en todo R.

Step-by-step solution

1. 1

   Reduce el enunciado a un solo punto. La continuidad en $\mathbb{R}$ significa continuidad en todo $a\in\mathbb{R}$, así que basta con fijar un $a$ arbitrario y probar que

   $\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$

   Equivalentemente, $\displaystyle\lim_{x\to a}\big(f(x)-f(a)\big)=0$.

2. 2

   Usa la hipótesis. Por hipótesis $f$ es derivable en $a$, lo que significa que el límite

   $f'(a)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$

   existe como número finito. Esa existencia es lo único disponible, así que la demostración debe organizarse para aprovecharla.

3. 3

   Introduce el cociente incremental de manera artificial. Para $x\neq a$ lo siguiente es una identidad, obtenida multiplicando y dividiendo entre $x-a$:

   $f(x)-f(a)=\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\cdot(x-a)$

   En esto consiste todo el truco: convierte una diferencia desconocida en un producto de algo cuyo límite se conoce por algo que visiblemente tiende a $0$.

4. 4

   Toma límites con la regla del producto para límites. Los dos factores tienen límite, así que el límite del producto es el producto de los límites:

   $\lim_{x\to a}\big(f(x)-f(a)\big)=\left(\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\right)\cdot\left(\lim_{x\to a}(x-a)\right)=f'(a)\cdot 0=0$

   Que $f'(a)$ sea finito es esencial — una derivada infinita dejaría una indeterminación $\infty\cdot 0$.

5. 5

   Concluye. Por lo tanto $\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$, es decir, $f$ es continua en $a$. Como $a$ era arbitrario,

   $\boxed{f\text{ es continua en todo }\mathbb{R}}$

6. 6

   Observa que el recíproco es falso. La continuidad no implica derivabilidad: $f(x)=|x|$ es continua en $0$, pero el cociente incremental $\tfrac{|x|}{x}$ tiende a $+1$ por la derecha y a $-1$ por la izquierda, de modo que $f'(0)$ no existe. La función de Weierstrass es continua en todas partes y derivable en ninguna, lo que muestra que la brecha no es una excepción menor.