Halla todas las soluciones de 3cos(2x) = 2ln(x − 1).

Step-by-step solution

1. 1

   Fija el dominio. El logaritmo exige $x-1>0$, así que toda solución cumple

   $x>1$

   Cuando $x\to 1^{+}$ el miembro derecho tiende a $-\infty$ mientras que el izquierdo se mantiene en $[-3,3]$, así que la diferencia $F(x)=3\cos 2x-2\ln(x-1)$ arranca siendo grande y positiva.

2. 2

   Acota el intervalo de búsqueda. El miembro izquierdo nunca supera $3$ en valor absoluto, así que una solución necesita $|2\ln(x-1)|\le 3$, es decir

   $\ln(x-1)\le 1.5\;\Longrightarrow\;x\le 1+e^{1.5}\approx 5.4817$

   Esto convierte una búsqueda no acotada en el intervalo finito $(1,\,5.4817]$: es el paso que hace que «halla todas las soluciones» tenga respuesta en lugar de quedar abierto.

3. 3

   Localiza los cambios de signo de $F(x)=3\cos 2x-2\ln(x-1)$. Al recorrer el intervalo, $F$ cambia de signo exactamente tres veces:

   $F(1.2)>0>F(1.35),\qquad F(2.4)<0<F(2.6),\qquad F(3.5)>0>F(3.7)$

   Entre $3.7$ y $5.48$ el logaritmo ya domina y $F$ se mantiene negativa, así que no hay un cuarto cruce.

4. 4

   Refina cada raíz por bisección. Partiendo repetidamente por la mitad cada intervalo que la encierra se obtiene

   $x_1\approx 1.283776,\qquad x_2\approx 2.490960,\qquad x_3\approx 3.584299$

5. 5

   Verifica cada raíz sustituyendo. Al evaluar $F$ en los tres valores se obtiene $-7.6\times 10^{-7}$, $-2.2\times 10^{-6}$ y $+1.6\times 10^{-6}$: cero dentro del redondeo de datos con seis decimales $\checkmark$. Como contraste, los valores cercanos $1.41538$, $2.40898$ y $3.55226$ dan $F=-1.099$, $-0.370$ y $+0.170$, nada cerca de cero, así que no son soluciones.