Calcula la integral definida de x² + 3 respecto de x, desde x = 0 hasta x = 1.

Step-by-step solution

1. 1

   Separa la integral sobre la suma. La integración es lineal, así que los dos términos se pueden tratar de forma independiente:

   $\int_{0}^{1}\left(x^{2}+3\right)dx=\int_{0}^{1}x^{2}\,dx+\int_{0}^{1}3\,dx.$

2. 2

   Halla cada primitiva con la regla de la potencia. Usando $\int x^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}$ para $n\ne-1$:

   $\int x^{2}\,dx=\frac{x^{3}}{3},\qquad \int 3\,dx=3x.$

   Así que una primitiva de todo el integrando es $F(x)=\frac{x^{3}}{3}+3x$. En una integral definida no hace falta constante de integración: se cancelaría en la resta.

3. 3

   Aplica el teorema fundamental del cálculo. Evalúa $F$ en el límite superior y réstale su valor en el límite inferior:

   $\left[\frac{x^{3}}{3}+3x\right]_{0}^{1}=F(1)-F(0).$

4. 4

   Calcula los dos valores. En $x=1$:

   $\frac{1}{3}+3=\frac{1}{3}+\frac{9}{3}=\frac{10}{3}.$

   En $x=0$: $0+0=0$. Al restar,

   $\int_{0}^{1}\left(x^{2}+3\right)dx=\frac{10}{3}-0=\frac{10}{3}\approx3.3333.$

5. 5

   Contrasta con una estimación geométrica. En $[0,1]$ el integrando va de $3$ hasta $4$, así que el área tiene que quedar estrictamente entre $3\times1=3$ y $4\times1=4$, y $\tfrac{10}{3}=3.33$ lo cumple ✓. Desglosado, la constante $3$ aporta un rectángulo de área $3$ y el $x^{2}$ aporta $\tfrac13$, que es el conocido área bajo una parábola unitaria.