Demuestra que toda sucesión de números reales tiene una subsucesión monótona.

Step-by-step solution

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   Define la noción adecuada: el pico. Llama pico de la sucesión a un índice $n$ si

   $a_n\ge a_m\quad\text{para todo }m>n$

   es decir, si ningún término posterior supera nunca a $a_n$. Todo índice o es un pico o no lo es, así que la demostración entera se parte en solo dos casos: esa dicotomía es toda la idea.

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   Caso 1: hay infinitos picos. Enuméralos como $n_1<n_2<n_3<\cdots$. Como $n_k$ es un pico y $n_{k+1}>n_k$, la propiedad que los define da

   $a_{n_k}\ge a_{n_{k+1}}$

   para todo $k$, así que $\{a_{n_k}\}$ es una subsucesión no creciente. En este caso ya está.

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   Caso 2: solo hay una cantidad finita de picos. Sea $N$ mayor que todos los picos, de modo que ningún índice $n\ge N$ sea un pico. Por la definición de "no ser un pico", para cada uno de esos $n$ existe algún $m>n$ con

   $a_m>a_n$

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   Construye recursivamente una subsucesión estrictamente creciente. Toma $n_1=N$. Como $n_1$ no es un pico, elige $n_2>n_1$ con $a_{n_2}>a_{n_1}$. Como $n_2\ge N$ tampoco es un pico, elige $n_3>n_2$ con $a_{n_3}>a_{n_2}$, y así sucesivamente. Esto produce índices $n_1<n_2<n_3<\cdots$ con

   $a_{n_1}<a_{n_2}<a_{n_3}<\cdots$

   una subsucesión estrictamente creciente.

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   Concluye. En los dos casos existe una subsucesión monótona, y los dos casos son exhaustivos, así que

   $\boxed{\text{Toda sucesión real tiene una subsucesión monótona}}$

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   Observa la consecuencia y revisa los casos límite. Combinado con el hecho de que una sucesión monótona y acotada converge, esto da de inmediato el teorema de Bolzano–Weierstrass. Dos comprobaciones del enunciado: para $a_n=(-1)^n$ los picos son los índices pares (infinitos), lo que da la subsucesión constante —y por tanto no creciente— $1,1,1,\ldots$; para $a_n=n$ no hay ningún pico, y el Caso 2 produce la subsucesión creciente $1,2,3,\ldots$. Fíjate en que el teorema afirma monotonía, no convergencia: una sucesión no acotada tiene subsucesión monótona, pero ninguna convergente.