Halla la serie de Maclaurin de 1/(1 + x)² hasta el término de grado 7 inclusive.

Step-by-step solution

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   Parte de una serie que ya conoces. La serie geométrica da, para $|x|<1$,

   $\frac{1}{1+x}=1-x+x^2-x^3+x^4-\cdots=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^nx^n$

   En lugar de calcular siete derivadas de $(1+x)^{-2}$ en $0$, fíjate en cómo se relaciona la función objetivo con esta.

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   Deriva una vez ambos lados. Como $\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{1}{1+x}\right)=-\dfrac{1}{(1+x)^2}$, derivar término a término y cambiar el signo entrega directamente la función buscada:

   $-\frac{1}{(1+x)^2}=-1+2x-3x^2+4x^3-\cdots\;\Longrightarrow\;\frac{1}{(1+x)^2}=1-2x+3x^2-4x^3+\cdots$

   La derivación término a término es legítima dentro del radio de convergencia, que sigue siendo $|x|<1$.

3. 3

   Escribe el coeficiente general. El patrón es un signo que alterna y una magnitud que va contando:

   $\frac{1}{(1+x)^2}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n(n+1)x^n$

   Puedes confirmarlo con la serie binomial $(1+x)^{-2}=\sum\binom{-2}{n}x^n$, ya que $\binom{-2}{n}=(-1)^n(n+1)$.

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   Enumera los términos hasta el grado 7.

   $\frac{1}{(1+x)^2}=1-2x+3x^2-4x^3+5x^4-6x^5+7x^6-8x^7+O\!\left(x^8\right)$

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   Comprueba un valor y observa el límite de convergencia. En $x=0.1$ la suma truncada da $1-0.2+0.03-0.004+0.0005-0.00006+0.000007-0.0000008=0.8264462$, y el valor exacto es $\dfrac{1}{1.1^2}=0.\overline{8264462809917355371900}$ $\checkmark$. En $x=1$ la serie se convierte en $1-2+3-4+\cdots$, que no converge, lo que concuerda con el radio $|x|<1$ heredado de la serie geométrica.