Resolver mediante la transformada de Laplace la ecuación integro-diferencial y′(t) − 2∫₀ᵗ y(τ) sen(t − τ) dτ = 1 con la condición inicial y(0) = −1.

Step-by-step solution

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   Reconocer la integral como una convolución. La integral tiene exactamente la forma $\int_0^t y(\tau)g(t-\tau)\,d\tau=(y*g)(t)$ con $g(t)=\sin t$. Por eso la transformada de Laplace es la herramienta adecuada: el teorema de convolución afirma que $\mathcal{L}\{y*g\}=Y(s)G(s)$, así que una integral incómoda se convierte en un producto ordinario. Como $\mathcal{L}\{\sin t\}=\tfrac{1}{s^2+1}$, el término integral se transforma en $\tfrac{2Y(s)}{s^2+1}$.

2. 2

   Transformar la ecuación completa. Usando $\mathcal{L}\{y'\}=sY(s)-y(0)$ con $y(0)=-1$, y $\mathcal{L}\{1\}=\tfrac1s$:

   $sY(s)+1-\frac{2Y(s)}{s^2+1}=\frac{1}{s}.$

3. 3

   Despejar algebraicamente $Y(s)$. Se agrupan los términos en $Y$ con denominador común y se pasa la constante al otro miembro:

   $Y(s)\cdot\frac{s(s^2+1)-2}{s^2+1}=\frac{1}{s}-1=\frac{1-s}{s}.$

   La cúbica se factoriza como $s^3+s-2=(s-1)(s^2+s+2)$, y $1-s=-(s-1)$, así que el factor $(s-1)$ se cancela: buena señal de que el álgebra va bien encaminada:

   $Y(s)=-\frac{s^2+1}{s\,(s^2+s+2)}.$

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   Descomponer en fracciones parciales. Se escribe $\dfrac{s^2+1}{s(s^2+s+2)}=\dfrac{A}{s}+\dfrac{Bs+C}{s^2+s+2}$. Al quitar denominadores queda $(A+B)s^2+(A+C)s+2A=s^2+1$, luego $2A=1$, $A+C=0$, $A+B=1$, es decir $A=\tfrac12$, $B=\tfrac12$, $C=-\tfrac12$. Por tanto

   $Y(s)=-\frac{1}{2s}-\frac{s-1}{2(s^2+s+2)}.$

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   Completar cuadrados para ajustarse al teorema de traslación. La cuadrática tiene raíces complejas, así que en lugar de factorizarla se escribe $s^2+s+2=\left(s+\tfrac12\right)^2+\tfrac74$ y se reexpresa el numerador en torno al mismo desplazamiento, $s-1=\left(s+\tfrac12\right)-\tfrac32$:

   $Y(s)=-\frac{1}{2s}-\frac12\cdot\frac{s+\tfrac12}{\left(s+\tfrac12\right)^2+\left(\tfrac{\sqrt7}{2}\right)^2}+\frac34\cdot\frac{1}{\left(s+\tfrac12\right)^2+\left(\tfrac{\sqrt7}{2}\right)^2}.$

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   Antitransformar término a término. Los tres sumandos son las transformadas de una constante, un coseno amortiguado y un seno amortiguado (este último necesita el factor $\tfrac{1}{\omega}=\tfrac{2}{\sqrt7}$, de modo que $\tfrac34\cdot\tfrac{2}{\sqrt7}=\tfrac{3}{2\sqrt7}$):

   $y(t)=-\frac12-\frac12e^{-t/2}\cos\!\left(\frac{\sqrt7}{2}t\right)+\frac{3}{2\sqrt7}e^{-t/2}\sin\!\left(\frac{\sqrt7}{2}t\right).$

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   Comprobar la solución. En $t=0$ el término del seno se anula y $y(0)=-\tfrac12-\tfrac12=-1$, lo que coincide con la condición inicial. Al sustituir la forma cerrada y evaluar numéricamente $y'(t)-2\int_0^t y(\tau)\sin(t-\tau)\,d\tau$ en varios valores de $t$ se obtiene $1.000000$ siempre, de modo que la respuesta satisface la ecuación original, no solo la condición inicial.