Halla la derivada de y = sen²(x).

Step-by-step solution

1. 1

   Descifra primero la notación. $\sin^2 x$ significa $\left(\sin x\right)^2$, no $\sin\left(x^2\right)$. La función exterior es elevar al cuadrado y la interior es el seno; invertirlas produce $2x\cos(x^2)$, una respuesta completamente distinta.

2. 2

   Plantea la regla de la cadena con una sustitución explícita. Sea

   $u=\sin x\ \Longrightarrow\ y=u^2$

   La regla de la cadena dice entonces

   $\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}=2u\cdot\frac{du}{dx}$

3. 3

   Deriva la función interior.

   $\frac{du}{dx}=\frac{d}{dx}\sin x=\cos x$

   (Aquí es donde importan los radianes: $\frac{d}{dx}\sin x=\cos x$ solo se cumple si el ángulo se mide en radianes.)

4. 4

   Sustituye de vuelta.

   $\frac{dy}{dx}=2\sin x\cos x$

   Fíjate en que hay que reemplazar $u$ por $\sin x$; dejar la respuesta como $2u\cos x$ estaría incompleto.

5. 5

   Reescribe con la identidad del ángulo doble. Como $\sin 2x=2\sin x\cos x$,

   $\frac{dy}{dx}=\sin 2x$

   Las dos formas son correctas; la compacta hace evidentes los ceros, en $x=\tfrac{k\pi}{2}$.

6. 6

   Comprueba numéricamente. En $x=0.7$ una diferencia centrada da $0.98544973$, y $\sin(1.4)=0.98544973$ ✓. Como control estructural, $y=\sin^2x$ tiene mínimos en $x=0,\pi$ y un máximo en $x=\tfrac\pi2$, y $\sin 2x$ se anula exactamente en esos puntos.