Resuelve la ecuación diferencial dy/dx = e^y.

Step-by-step solution

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   Separa las variables. Toda la dependencia en $y$ está a la derecha, así que divide entre $e^{y}$, cosa lícita porque $e^{y}$ nunca se anula:

   $e^{-y}\,dy = dx$

2. 2

   Integra ambos lados.

   $\int e^{-y}\,dy = \int dx \quad\Longrightarrow\quad -e^{-y} = x + C_0$

   Basta con una sola constante; absorbiendo el signo, escribimos $e^{-y} = C - x$ con $C = -C_0$.

3. 3

   Despeja y de forma explícita. Tomar el logaritmo natural exige $C - x > 0$:

   $-y = \ln(C - x) \quad\Longrightarrow\quad y = -\ln(C - x)$

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   Lee el dominio, que es lo interesante. La solución solo existe para $x < C$. Cuando $x \to C^{-}$ el argumento del logaritmo tiende a $0^{+}$ y $y \to +\infty$: la solución explota para un $x$ finito, aunque el lado derecho $e^{y}$ sea suave en todas partes. Este es el ejemplo estándar de que la existencia local no implica la existencia global.

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   Comprueba por sustitución. Con $C = 5$ y $x = 1$: $y = -\ln 4 \approx -1.386294$, así que $e^{y} = \tfrac14 = 0.25$. Derivando, $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{C-x} = \frac14 = 0.25$. Los dos coinciden, y una diferencia centrada en $x = 1$ con paso $10^{-6}$ también devuelve $0.250000$.