Halla una forma cerrada para la suma de e^(1 + 2i/n) cuando i recorre los valores de 1 a n.

Step-by-step solution

1. 1

   Separa el exponente para aislar la parte constante. Usando $e^{a+b}=e^{a}e^{b}$,

   $e^{1+\frac{2i}{n}}=e\cdot e^{\frac{2i}{n}}\ \Longrightarrow\ \sum_{i=1}^{n}e^{1+\frac{2i}{n}}=e\sum_{i=1}^{n}\left(e^{2/n}\right)^{i}$

   El factor $e$ no contiene ningún $i$, así que sale directamente de la suma.

2. 2

   Identifica la estructura geométrica. Escribiendo $r=e^{2/n}$, los términos son $r,r^{2},\dots,r^{n}$: cada uno es el anterior multiplicado por la razón fija $r$. Eso la convierte en una serie geométrica finita de primer término $a=r$ y $n$ términos; observa que $n$ aparece tanto como número de términos como dentro de la razón.

3. 3

   Aplica la fórmula de la suma geométrica finita. Con $a+ar+\cdots+ar^{n-1}=a\dfrac{r^{n}-1}{r-1}$ y $a=r$:

   $\sum_{i=1}^{n}r^{i}=r\cdot\frac{r^{n}-1}{r-1}$

   Esto exige $r\neq 1$, lo cual se cumple porque $e^{2/n}>1$ para todo $n$ positivo.

4. 4

   Simplifica $r^{n}$: la razón por la que la respuesta queda limpia.

   $r^{n}=\left(e^{2/n}\right)^{n}=e^{2}$

   de modo que

   $\sum_{i=1}^{n}e^{\frac{2i}{n}}=e^{2/n}\cdot\frac{e^{2}-1}{e^{2/n}-1}$

   Toda la dependencia de $n$ se concentra en el único factor $e^{2/n}$ y en el denominador.

5. 5

   Multiplica de nuevo por $e$ e interpreta el resultado.

   $\sum_{i=1}^{n}e^{1+\frac{2i}{n}}=e^{1+\frac{2}{n}}\cdot\frac{e^{2}-1}{e^{2/n}-1}$

   Esto es exactamente $\tfrac{n}{2}$ veces una suma de Riemann por extremos derechos de $\int_{1}^{3}e^{x}dx=e^{3}-e$: al multiplicar por la anchura $\tfrac2n$ y hacer $n\to\infty$ se usa $e^{2/n}-1\approx\tfrac2n$ y se recupera $e\left(e^{2}-1\right)=e^{3}-e$ ✓.