Dada F(x) = la integral de dx/(2x + 1) con F(0) = 0, hallar F((e² − 1)/2).

Step-by-step solution

1. 1

   Integrar con la sustitución $u=2x+1$. El integrando es el inverso de una función lineal, así que una sustitución lineal lo resuelve:

   $u=2x+1,\qquad du=2\,dx,\qquad dx=\frac{du}{2}$

   $F(x)=\int\frac{1}{u}\cdot\frac{du}{2}=\frac{1}{2}\ln|u|+C=\frac{1}{2}\ln|2x+1|+C$

   El factor $\tfrac12$ compensa la derivada del interior; olvidarlo es el error más frecuente en esta familia de integrales.

2. 2

   Determinar la constante con la condición inicial. Al sustituir $x=0$:

   $F(0)=\frac{1}{2}\ln|1|+C=0+C$

   y la condición $F(0)=0$ obliga a que

   $C=0\qquad\Longrightarrow\qquad F(x)=\frac{1}{2}\ln|2x+1|$

   La condición inicial es lo que convierte toda una familia de antiderivadas en una única función.

3. 3

   Simplificar el argumento antes de sustituirlo. Con $x=\dfrac{e^2-1}{2}$,

   $2x+1=2\cdot\frac{e^2-1}{2}+1=(e^2-1)+1=e^2$

   Ese valor de aspecto incómodo está construido justamente para que $2x+1$ se reduzca a $e^2$: conviene simplificar siempre primero el interior del logaritmo. Además $e^2>0$, así que el valor absoluto no supone ningún problema.

4. 4

   Evaluar. Usando $\ln(e^2)=2$:

   $F\!\left(\frac{e^2-1}{2}\right)=\frac{1}{2}\ln\left(e^2\right)=\frac{1}{2}\cdot 2=1$

   $\boxed{1}$

5. 5

   Comprobar con una integral definida. Como $F(0)=0$, el resultado también se escribe

   $\int_0^{(e^2-1)/2}\frac{dx}{2x+1}=\left[\frac{1}{2}\ln(2x+1)\right]_0^{(e^2-1)/2}=\frac{1}{2}(2-0)=1$

   Numéricamente el límite superior vale $\approx 3.1945$ y $\tfrac12\ln(2\cdot 3.1945+1)=1.0000$, lo que confirma el valor.