Calcular la integral de línea de (e^x sen y - xy) dx + (xy + e^x cos y) dy a lo largo de la mitad derecha de la circunferencia x² + y² = 4, recorrida en el sentido de y creciente.

Step-by-step solution

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   Se fija el camino y sus extremos. La mitad derecha de $x^2+y^2=4$ va de $(0,-2)$ a $(0,2)$ pasando por $(2,0)$. Que $y$ crezca significa que se parte de $(0,-2)$ y se termina en $(0,2)$. Conocer los extremos importa porque una parte del integrando resultará ser independiente del camino.

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   Se comprueba la exactitud antes de parametrizar. Con $P=e^x\sin y-xy$ y $Q=xy+e^x\cos y$,

   $P_y=e^x\cos y-x,\qquad Q_x=y+e^x\cos y.$

   No coinciden, así que el campo no es conservativo y la integral completa no es independiente del camino. Pero la discrepancia está solo en los términos $-xy$ y $xy$.

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   Se separa la parte exacta. Observa que

   $d\!\left(e^x\sin y\right)=e^x\sin y\,dx+e^x\cos y\,dy,$

   de modo que esos dos términos forman una diferencial exacta y solo dependen de los extremos:

   $\int_L e^x\sin y\,dx+e^x\cos y\,dy=\Big[e^x\sin y\Big]_{(0,-2)}^{(0,2)}=\sin 2-\sin(-2)=2\sin 2.$

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   Se parametriza el trozo restante. Para $\displaystyle\int_L -xy\,dx+xy\,dy$ se toma $x=2\cos t$, $y=2\sin t$ con $t$ desde $-\tfrac{\pi}{2}$ hasta $\tfrac{\pi}{2}$ (esto mantiene $x\ge 0$ y hace crecer a $y$, tal como exige el enunciado). Entonces $dx=-2\sin t\,dt$, $dy=2\cos t\,dt$ y $xy=4\sin t\cos t$:

   $\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\left(8\sin^2 t\cos t+8\sin t\cos^2 t\right)dt.$

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   Se usa la simetría y luego se sustituye. $\sin t\cos^2 t$ es impar en un intervalo simétrico, así que su integral vale $0$. Para el otro término se pone $u=\sin t$:

   $8\int_{-1}^{1}u^2\,du=8\cdot\frac{2}{3}=\frac{16}{3}.$

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   Se suman las dos contribuciones. La integral de línea vale

   $\frac{16}{3}+2\sin 2\approx 7.1519,$

   que coincide con la evaluación numérica directa de la integral parametrizada hasta el quinto decimal.