Resuelve la ecuación diferencial dx/dy = a · x^(2/3), donde a es una constante.

Step-by-step solution

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   Separa las variables. Dividir ambos miembros entre $x^{2/3}$ y multiplicar por $dy$ deja cada variable con su propio diferencial:

   $x^{-2/3}\,dx=a\,dy.$

   Ten en cuenta que dividir entre $x^{2/3}$ solo es lícito cuando $x\ne0$; el caso $x=0$ hay que examinarlo aparte, y aquí resulta que importa.

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   Integra el miembro izquierdo con la regla de la potencia. Con $n=-\tfrac23$, el nuevo exponente es $n+1=\tfrac13$:

   $\int x^{-2/3}\,dx=\frac{x^{1/3}}{1/3}=3x^{1/3}.$

   Dividir entre $\tfrac13$ equivale a multiplicar por $3$, y de ahí sale el factor que después se convierte en $\tfrac{a}{3}$.

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   Integra el miembro derecho y junta ambos. Como $a$ es constante, $\int a\,dy=ay$, de modo que

   $3x^{1/3}=ay+C.$

   Una sola constante arbitraria basta para una ecuación de primer orden.

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   Despeja $x$ explícitamente. Dividiendo entre $3$ y absorbiendo la constante:

   $x^{1/3}=\frac{a}{3}y+C_{1}\;\Longrightarrow\;x=\left(\frac{a}{3}y+C_{1}\right)^{3}.$

   Elevar al cubo es seguro y no genera ambigüedad de $\pm$, porque la función cubo es inyectiva en los reales, a diferencia de elevar al cuadrado.

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   Agrega la solución singular y verifica. La función constante $x\equiv0$ satisface la ecuación ($\frac{dx}{dy}=0$ y $a\cdot0^{2/3}=0$), pero no es de la forma general para ningún $C_{1}$ finito, así que es una auténtica solución singular. Además convierte esto en un ejemplo clásico de no unicidad: por el punto $x=0$ pasan tanto $x\equiv0$ como $x=\left(\tfrac{a}{3}y\right)^{3}$, porque $x^{2/3}$ no es lipschitziana en $0$. Comprobación numérica con $a=1.7$, $C_{1}=0.4$ en $y=1.1$: $\frac{dx}{dy}=1.7802589$ y $ax^{2/3}=1.7802589$ ✓.