Halla la integral de 4e^(2x) − sen(2x) respecto de x.

Step-by-step solution

1. 1

   Separa la integral por linealidad. La integración se reparte sobre sumas y restas y permite sacar las constantes al frente:

   $\int\left(4e^{2x}-\sin 2x\right)dx=4\int e^{2x}\,dx-\int\sin 2x\,dx$

   Cada pieza es ahora una forma estándar con la función interior lineal $2x$.

2. 2

   Recuerda la regla de la cadena al revés cuando el interior es lineal. Derivar $e^{2x}$ produce un factor extra $2$, así que al integrar hay que dividir entre él:

   $\int e^{ax}dx=\frac{1}{a}e^{ax}+C,\qquad \int\sin ax\,dx=-\frac{1}{a}\cos ax+C$

   Esta división es el paso que más se olvida, y aquí cambia la respuesta por un factor de dos.

3. 3

   Integra el término exponencial.

   $4\int e^{2x}dx=4\cdot\frac12 e^{2x}=2e^{2x}$

4. 4

   Integra el término del seno siguiendo la pista a los dos signos menos. La regla aporta un menos y la expresión original aporta otro:

   $-\int\sin 2x\,dx=-\left(-\frac12\cos 2x\right)=+\frac12\cos 2x$

   El resultado es $+\tfrac12\cos 2x$, no $-\tfrac12\cos 2x$.

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   Reúne todo y añade la constante de integración.

   $\int\left(4e^{2x}-\sin 2x\right)dx=2e^{2x}+\frac12\cos 2x+C$

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   Comprueba derivando de vuelta. $\frac{d}{dx}\left(2e^{2x}\right)=4e^{2x}$ y $\frac{d}{dx}\left(\tfrac12\cos 2x\right)=-\sin 2x$, lo que reproduce el integrando exactamente. Numéricamente, en $x=0.6$ la derivada de la respuesta vale $12.34843$ y el integrando vale $12.34843$ ✓.