Evaluar 1/(a+b) por la integral de 0 a arctan(b/a) de la integral interior de r² dr entre 0 y a/cos(θ).

Step-by-step solution

1. 1

   Entender la región. El límite exterior $r=\dfrac{a}{\cos\theta}$ es la ecuación polar de la recta vertical $x=a$, y $\theta$ recorre de $0$ a $\arctan(b/a)$. Así que la región barrida es el triángulo rectángulo de vértices $(0,0)$, $(a,0)$ y $(a,b)$; saber esto vuelve significativos los límites en vez de arbitrarios.

2. 2

   Hacer la integral interior en $r$.

   $\int_{0}^{a/\cos\theta}r^{2}\,dr=\left[\frac{r^{3}}{3}\right]_{0}^{a/\cos\theta}=\frac{a^{3}}{3\cos^{3}\theta}=\frac{a^{3}}{3}\sec^{3}\theta$

   El cubo del límite superior es lo que convierte una potencia sencilla en un problema de secante al cubo.

3. 3

   Recordar la primitiva de la secante al cubo. Este es el resultado estándar por partes:

   $\int\sec^{3}\theta\,d\theta=\frac{1}{2}\left(\sec\theta\tan\theta+\ln\left|\sec\theta+\tan\theta\right|\right)+C$

   Es la única pieza del cálculo que no sale con una sustitución simple.

4. 4

   Evaluar en el límite superior. Con $\theta_{0}=\arctan(b/a)$, la geometría del triángulo rectángulo da

   $\tan\theta_{0}=\frac{b}{a},\qquad\sec\theta_{0}=\frac{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}{a}$

   de modo que $\sec\theta_{0}\tan\theta_{0}=\dfrac{b\sqrt{a^{2}+b^{2}}}{a^{2}}$ y $\sec\theta_{0}+\tan\theta_{0}=\dfrac{\sqrt{a^{2}+b^{2}}+b}{a}$. En $\theta=0$ se anulan tanto $\sec\theta\tan\theta$ como $\ln|\sec\theta+\tan\theta|=\ln1$.

5. 5

   Armar la forma cerrada. Combinando las constantes $\dfrac{a^{3}}{3}\cdot\dfrac12\cdot\dfrac{1}{a+b}$:

   $\frac{a^{3}}{6(a+b)}\left(\frac{b\sqrt{a^{2}+b^{2}}}{a^{2}}+\ln\frac{\sqrt{a^{2}+b^{2}}+b}{a}\right)$

   o bien, distribuyendo el primer término,

   $\frac{ab\sqrt{a^{2}+b^{2}}}{6(a+b)}+\frac{a^{3}}{6(a+b)}\ln\frac{\sqrt{a^{2}+b^{2}}+b}{a}$

6. 6

   Verificar numéricamente con varios valores de los parámetros. La cuadratura de Simpson de $\dfrac{a^{3}\sec^{3}\theta}{3(a+b)}$ frente a la forma cerrada da, para $(a,b)=(1,1)$: $0.1912989291$ por ambos caminos; para $(2,3)$: $1.0397137797$ por ambos; para $(0.7,1.9)$: $0.2105370143$ por ambos ✓, con coincidencia mejor que $10^{-8}$ en todos los casos.