Halla el límite de (−1)ⁿ / n cuando n tiende a infinito.

Step-by-step solution

1. 1

   Separa la parte acotada de la parte que se anula. El numerador $(-1)^{n}$ no tiene ningún límite: alterna $-1,1,-1,1,\dots$ para siempre. El denominador $n$ crece sin cota. Una cantidad acotada dividida entre otra que tiende a infinito tiene que tender a cero, y ese es todo el argumento en palabras.

2. 2

   Toma valores absolutos para precisar el argumento. Como $\left|(-1)^{n}\right|=1$ para todo $n$,

   $\left|\frac{(-1)^{n}}{n}\right|=\frac{1}{n}$

   La oscilación desaparece por completo en cuanto mides tamaño en lugar de signo.

3. 3

   Encierra la sucesión entre dos cotas. Para todo $n\ge 1$,

   $-\frac{1}{n}\le\frac{(-1)^{n}}{n}\le\frac{1}{n}$

   y las dos cotas exteriores tienden a $0$, así que la sucesión atrapada entre ellas también.

4. 4

   Enuncia el límite.

   $\lim_{n\to\infty}\frac{(-1)^{n}}{n}=0$

   La sucesión converge aunque nunca se asiente a un solo lado de $0$: la convergencia exige que los términos se acerquen a un valor, no que se acerquen desde una dirección fija.

5. 5

   Observa el contraste con $(-1)^{n}$ a solas. Sin el factor $\tfrac1n$ la sucesión no tendría límite, porque sus términos se mantienen a distancia $2$ para siempre. El factor que se anula es lo que rescata la convergencia, y es también la razón por la que la serie armónica alternada $\sum\frac{(-1)^n}{n}$ converge, por el criterio de las series alternadas.