Halla el límite de (ln(1 + 2x) − 2x)/x² cuando x tiende a 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Comprueba la forma y el orden que hace falta. En $x = 0$ el numerador es $\ln 1 - 0 = 0$ y el denominador es $0$, así que esto es $0/0$. Como el denominador es $x^2$, el numerador hay que desarrollarlo al menos hasta el orden $x^2$ — un desarrollo de primer orden daría $0$ y no diría nada.

2. 2

   Desarrolla ln(1 + u) hasta segundo orden. La serie de Maclaurin es

   $\ln(1 + u) = u - \frac{u^2}{2} + \frac{u^3}{3} - \cdots$

   Sustituyendo $u = 2x$:

   $\ln(1 + 2x) = 2x - \frac{(2x)^2}{2} + O(x^3) = 2x - 2x^2 + O(x^3)$

   Observa que $(2x)^2 = 4x^2$, así que el coeficiente cuadrático es $-2$, no $-\tfrac12$.

3. 3

   Resta 2x: los términos lineales se cancelan por diseño.

   $\ln(1 + 2x) - 2x = -2x^2 + O(x^3)$

   Esta cancelación es todo el propósito del problema: el $-2x$ está puesto ahí precisamente para dejar al descubierto el comportamiento cuadrático del logaritmo.

4. 4

   Divide entre x².

   $\frac{\ln(1 + 2x) - 2x}{x^2} = \frac{-2x^2 + O(x^3)}{x^2} = -2 + O(x)$

   Hacer $x \to 0$ elimina el resto $O(x)$, así que el límite es $-2$.

5. 5

   Contrasta aplicando una vez la regla de L'Hôpital y simplificando. Primera aplicación:

   $\lim_{x \to 0} \frac{\frac{2}{1 + 2x} - 2}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{-4x}{2x(1 + 2x)}$

   que se simplifica a $\lim_{x \to 0} \frac{-2}{1 + 2x} = -2$. Numéricamente, en $x = 10^{-4}$ el cociente vale $-1.99973$ y en $x = -10^{-4}$ vale $-2.00027$, encerrando a $-2$.