Halla la derivada de f(x) = x · cos(x + 3) + 7.

Step-by-step solution

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   Separa la función en partes. La derivación es lineal, así que trata $x\cos(x+3)$ y la constante $7$ por separado. La derivada de cualquier constante es $0$, así que el $+7$ no aporta nada: desplaza la gráfica verticalmente sin cambiar ninguna pendiente.

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   Prepara la regla del producto en el primer término. Con $u = x$ y $v = \cos(x+3)$:

   $\frac{d}{dx}\left[uv\right] = u'v + uv'$

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   Deriva cada factor. $u' = 1$. Para $v$, la regla de la cadena da

   $v' = -\sin(x+3)\cdot\frac{d}{dx}(x+3) = -\sin(x+3)\cdot 1 = -\sin(x+3)$

   La derivada interior es $1$ porque el argumento es un simple desplazamiento; si hubiera sido $\cos(3x+3)$ aparecería un factor extra de $3$.

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   Arma la derivada.

   $f'(x) = 1\cdot\cos(x+3) + x\left(-\sin(x+3)\right) = \cos(x+3) - x\sin(x+3)$

5. 5

   Comprueba en un punto cómodo. En $x = -3$ el argumento es $0$, así que $f'(-3) = \cos 0 - (-3)\sin 0 = 1$. Una diferencia central de $f$ en $x = -3$ con paso $10^{-6}$ también devuelve $1.000000$. En $x = 0$: $f'(0) = \cos 3 = -0.989992$, que coincide con la derivada numérica hasta la sexta cifra decimal.