Calcula la integral triple de 4x + 5y − 19z con z de 7 a 1, y de 4 a 2, y x de 3 a 2.

Step-by-step solution

1. 1

   Fíjate en que todos los límites están invertidos. Cada integral va de un valor mayor a uno menor. Como $\int_{a}^{b}=-\int_{b}^{a}$, hay tres cambios de signo, y $(-1)^{3}=-1$: el resultado completo es el opuesto de la misma integral con todos los límites en orden creciente. Puedes invertirlos todos de entrada o, como se hace más abajo, evaluar con cuidado tal como están.

2. 2

   Integra primero respecto de $z$, tratando $x$ e $y$ como constantes. Una primitiva en $z$ es $4xz+5yz-\tfrac{19}{2}z^{2}$, así que

   $\int_{7}^{1}\left(4x+5y-19z\right)dz=\left(4x+5y-\tfrac{19}{2}\right)-\left(28x+35y-\tfrac{931}{2}\right)=-24x-30y+456$

   El orden importa: el diferencial más interno, $dz$, se integra primero y usa el par de límites más interno.

3. 3

   Integra el resultado respecto de $y$. Con la primitiva $(-24x+456)y-15y^{2}$:

   $\int_{4}^{2}\left(-24x-30y+456\right)dy=\left(-48x+852\right)-\left(-96x+1584\right)=48x-732$

4. 4

   Integra respecto de $x$. Con la primitiva $24x^{2}-732x$:

   $\int_{3}^{2}\left(48x-732\right)dx=\left(96-1464\right)-\left(216-2196\right)=-1368+1980=612$

5. 5

   Interpreta el signo. En el integrando domina $-19z$ sobre una región donde $z$ llega hasta 7, así que la integral «con límites crecientes» resulta fuertemente negativa; las tres inversiones la vuelven positiva. Invertir únicamente los límites de $z$, por ejemplo, daría $-612$.

6. 6

   Compruébalo con una suma de Riemann numérica. Una suma de puntos medios con $120^{3}$ celdas, usando los pasos con signo $dz=-6/120$, $dy=-2/120$, $dx=-1/120$, devuelve exactamente $612.0$ ✓. La coincidencia es exacta porque el integrando es lineal y para él la regla del punto medio es exacta.