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Calculus · real student question

Halla la serie de Maclaurin de tanh(10⁻¹³x)/x hasta el término de grado 10 inclusive.

Question

Halla la serie de Maclaurin de

tanh⁡ ⁣(10−13x)x\frac{\tanh\!\left(10^{-13}x\right)}{x}

hasta el término de grado 1010 inclusive.

Step-by-step solution

  1. Parte del desarrollo estándar de tanh⁡z\tanh z. La tangente hiperbólica es impar, así que su serie de Maclaurin solo contiene potencias impares:

    tanh⁡z=z−z33+2z515−17z7315+62z92835−1382z11155925+⋯\tanh z=z-\frac{z^{3}}{3}+\frac{2z^{5}}{15}-\frac{17z^{7}}{315}+\frac{62z^{9}}{2835}-\frac{1382z^{11}}{155925}+\cdots

    Los coeficientes salen de tanh⁡z=∑n≥122n(22n−1)B2n(2n)!z2n−1\tanh z=\sum_{n\ge1}\frac{2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}}{(2n)!}z^{2n-1}, pero para una respuesta de grado 10 basta con los seis términos escritos.

  2. Decide hasta dónde desarrollar antes de sustituir. Dividir entre xx baja un grado a cada término, así que una potencia impar z2k+1z^{2k+1} se convierte en una potencia par x2kx^{2k}. Por eso, para alcanzar el grado 1010 en la respuesta final hace falta tanh⁡z\tanh z hasta z11z^{11}: un término más de lo que sugiere una primera mirada. Este es el paso en el que más a menudo se queda uno corto.

  3. Sustituye z=10−13xz=10^{-13}x. Cada zmz^{m} aporta un factor 10−13m10^{-13m}:

    tanh⁡(10−13x)=10−13x−10−393x3+2⋅10−6515x5−17⋅10−91315x7+62⋅10−1172835x9−1382⋅10−143155925x11+⋯\tanh(10^{-13}x)=10^{-13}x-\frac{10^{-39}}{3}x^{3}+\frac{2\cdot 10^{-65}}{15}x^{5}-\frac{17\cdot 10^{-91}}{315}x^{7}+\frac{62\cdot 10^{-117}}{2835}x^{9}-\frac{1382\cdot 10^{-143}}{155925}x^{11}+\cdots

  4. Divide entre xx término a término. Cada exponente baja una unidad, y las potencias impares se vuelven pares:

    tanh⁡(10−13x)x=10−13−10−393x2+2⋅10−6515x4−17⋅10−91315x6+62⋅10−1172835x8−1382⋅10−143155925x10+⋯\frac{\tanh(10^{-13}x)}{x}=10^{-13}-\frac{10^{-39}}{3}x^{2}+\frac{2\cdot 10^{-65}}{15}x^{4}-\frac{17\cdot 10^{-91}}{315}x^{6}+\frac{62\cdot 10^{-117}}{2835}x^{8}-\frac{1382\cdot 10^{-143}}{155925}x^{10}+\cdots

    La serie no tiene ningún término de grado impar, y la singularidad evitable en x=0x=0 queda cubierta por la constante 10−1310^{-13}.

  5. Fíjate en lo que hace el parámetro diminuto. Cada término se encoge respecto al anterior en un factor de aproximadamente 10−26x210^{-26}x^{2}, así que, salvo que ∣x∣|x| sea del orden de 101310^{13}, la función es numéricamente indistinguible de la constante 10−1310^{-13}. Ese es el contenido práctico del desarrollo: la serie converge para ∣10−13x∣<π/2|10^{-13}x|<\pi/2, es decir ∣x∣<1.5708×1013|x|<1.5708\times 10^{13}, que es exactamente donde se sitúa la singularidad más cercana de tanh⁡\tanh, en z=iπ/2z=i\pi/2.

Answer

10−13−10−393x2+2⋅10−6515x4−17⋅10−91315x6+62⋅10−1172835x8−1382⋅10−143155925x10+O(x12)10^{-13}-\frac{10^{-39}}{3}x^{2}+\frac{2\cdot 10^{-65}}{15}x^{4}-\frac{17\cdot 10^{-91}}{315}x^{6}+\frac{62\cdot 10^{-117}}{2835}x^{8}-\frac{1382\cdot 10^{-143}}{155925}x^{10}+O(x^{12})

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