Resolver la ecuación diferencial dy/dx = ky, donde k es una constante.

Step-by-step solution

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   Reconocer el modelo. Esta ecuación dice que la tasa de variación es proporcional a la cantidad actual — la ley que hay detrás del crecimiento poblacional, la desintegración radiactiva, el interés compuesto continuo y el enfriamiento de Newton. Resolverla una vez las resuelve todas.

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   Separar las variables. Dividir entre $y$ exige $y \ne 0$, algo que se anota para retomarlo después:

   $\frac{dy}{y} = k\,dx$

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   Integrar ambos lados.

   $\int \frac{1}{y}\,dy = \int k\,dx \quad\Longrightarrow\quad \ln|y| = kx + C_0$

   El valor absoluto es necesario porque la primitiva de $\tfrac{1}{y}$ es $\ln|y|$ a cada lado del cero.

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   Exponenciar y absorber las constantes.

   $|y| = e^{kx + C_0} = e^{C_0}e^{kx}$

   Escribiendo $A = e^{C_0} > 0$ y dejando que el signo de $y$ quede recogido al permitir $C = \pm A$, esto se convierte en

   $y = Ce^{kx}$

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   Recuperar la solución excluida. La división entre $y$ descartó $y \equiv 0$, pero esa función constante sí satisface la ecuación — y se recupera con $C = 0$. Así que permitir que $C$ sea cualquier número real hace de $y = Ce^{kx}$ la solución general completa, sin perder nada.

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   Verificar y leer el comportamiento. Al derivar, $y' = Cke^{kx} = k\left(Ce^{kx}\right) = ky$. Con una condición inicial $y(0) = y_0$ se obtiene $C = y_0$, así que $y = y_0e^{kx}$: crecimiento cuando $k > 0$, decrecimiento cuando $k < 0$, y constante cuando $k = 0$. El tiempo de duplicación para $k > 0$ es $\tfrac{\ln 2}{k}$.