Halla el límite cuando x tiende a 1 de (x² − 1)·tan(2x − 2)/sen²(x − 1).

Step-by-step solution

1. 1

   Confirma la forma indeterminada. En $x = 1$: $x^2-1 = 0$, $\tan(2x-2) = \tan 0 = 0$ y $\sin^2(x-1) = 0$, así que la expresión es $\dfrac{0 \cdot 0}{0}$ — genuinamente indeterminada, y la sustitución directa no está permitida.

2. 2

   Sustituye $u = x-1$ para centrarlo todo en cero. Entonces $x = u+1$, $x^2 - 1 = (x-1)(x+1) = u(u+2)$, $2x-2 = 2u$ y $x-1 = u$, con $u \to 0$:

   $\lim_{u\to 0}\frac{u(u+2)\tan(2u)}{\sin^2 u}$

   Esta sustitución es todo el truco: deja a la vista los límites estándar de ángulo pequeño.

3. 3

   Reescribe usando los dos límites estándar. Reparte la expresión para que cada factor trigonométrico quede sobre su propio argumento:

   $\frac{u(u+2)\tan(2u)}{\sin^2 u} = (u+2)\cdot\underbrace{\frac{\tan(2u)}{2u}}_{\to\,1}\cdot 2 \cdot \underbrace{\left(\frac{u}{\sin u}\right)^{2}}_{\to\,1}$

   Aquí $u \cdot \dfrac{2u}{u^2} = \dfrac{2}{1}$ da cuenta del factor $2$, usando $\lim_{t\to0}\tfrac{\tan t}{t} = 1$ y $\lim_{u\to0}\tfrac{\sin u}{u} = 1$.

4. 4

   Toma el límite factor a factor.

   $\lim_{u\to 0}(u+2) \cdot 1 \cdot 2 \cdot 1 = 2 \cdot 2 = 4$

5. 5

   Contrasta con los desarrollos de orden principal. Para $u$ pequeño, $\tan(2u) \approx 2u$ y $\sin^2 u \approx u^2$, así que el cociente completo se comporta como $\dfrac{u(u+2)(2u)}{u^2} = 2(u+2) \to 4$ ✓ — la misma respuesta por un camino más corto.

6. 6

   Verifica numéricamente. En $u = 0.01$ (es decir, $x = 1.01$): numerador $= 0.01 \times 2.01 \times \tan(0.02) = 0.01 \times 2.01 \times 0.0200027 = 0.000402054$, denominador $= \sin^2(0.01) = 0.0000999967$, cociente $= 4.02067$. En $u = 0.001$ el cociente vale $4.002007$ ✓, acercándose a $4$, y un límite simbólico devuelve exactamente $4$.