Cambia el orden de integración para calcular la integral triple de dz dy dx con z de 0 a 3 − 3x − y, y de 0 a 3(1 − x), y x de 0 a 1, integrando primero respecto de y, después respecto de x y por último respecto de z.

Step-by-step solution

1. 1

   Describe el sólido con desigualdades en vez de con límites. Leyendo los tres límites de dentro hacia fuera:

   $0\le z\le 3-3x-y,\qquad 0\le y\le 3-3x,\qquad 0\le x\le 1.$

   Los tres se condensan en una única descripción simétrica

   $x\ge 0,\quad y\ge 0,\quad z\ge 0,\quad 3x+y+z\le 3,$

   que es un tetraedro de vértices $(0,0,0)$, $(1,0,0)$, $(0,3,0)$ y $(0,0,3)$.

2. 2

   Elige la variable más externa del nuevo orden. El orden pedido es $dy\,dx\,dz$, así que $z$ queda en la posición más externa. Proyectando el tetraedro sobre el eje $z$ se obtiene $0\le z\le 3$.

3. 3

   Fija z y halla el rango de x. Con $z$ fijo, la rebanada es $\{3x+y\le 3-z,\ x,y\ge 0\}$. Tomando $y=0$ se obtiene el $x$ más amplio:

   $0\le x\le \frac{3-z}{3}.$

4. 4

   Fija z y x, y lee entonces el rango de y. De $3x+y\le 3-z$,

   $0\le y\le 3-z-3x,$

   de modo que la integral reordenada es

   $\int_{z=0}^{3}\int_{x=0}^{(3-z)/3}\int_{y=0}^{3-z-3x}dy\,dx\,dz.$

5. 5

   Evalúa de dentro hacia fuera. La integral interna da $3-z-3x$. Después

   $\int_{0}^{(3-z)/3}\left(3-z-3x\right)dx=\left[(3-z)x-\tfrac{3x^{2}}{2}\right]_{0}^{(3-z)/3}=\frac{(3-z)^{2}}{3}-\frac{(3-z)^{2}}{6}=\frac{(3-z)^{2}}{6}.$

   Y por último

   $\int_{0}^{3}\frac{(3-z)^{2}}{6}\,dz=\frac{1}{6}\cdot\frac{27}{3}=\frac{27}{18}=\frac{3}{2}.$

6. 6

   Compruébalo geométricamente. El integrando es $1$, así que el resultado no es más que el volumen de un tetraedro con aristas mutuamente perpendiculares $1$, $3$ y $3$:

   $V=\frac{1}{6}(1)(3)(3)=\frac{3}{2}.$

   Los dos caminos coinciden, lo que confirma que el reordenamiento se hizo correctamente.