Un estudiante escribe la integral de x elevado a 7 dx como x elevado a 8 entre 3, más 7. Halla correctamente la primitiva y explica el error.

Step-by-step solution

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   Enuncia la regla de la potencia con precisión. Para todo exponente $n\neq -1$,

   $\int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$

   Ocurren dos cosas distintas: el exponente sube en uno, y el término se divide entre ese nuevo exponente $n+1$, no entre el viejo ni entre ninguna otra cosa.

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   Aplícala con $n=7$. El nuevo exponente es $7+1=8$, así que

   $\int x^7\,dx=\frac{x^8}{8}+C$

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   Localiza los dos errores distintos de la propuesta. En $\frac{x^8}{3}+7$ el exponente $8$ está bien, pero (i) el denominador debería ser $8$, y el $3$ aparece de la nada; y (ii) la constante se escribe como un número concreto, $7$, cuando una primitiva debe llevar una constante arbitraria $C$: cada valor de $C$ da una primitiva válida.

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   Deriva la propuesta para demostrar que es falsa. La derivación es la comprobación incorporada de cualquier integral:

   $\frac{d}{dx}\left(\frac{x^8}{3}+7\right)=\frac{8x^7}{3}$

   Eso es $\frac83$ veces demasiado grande, así que no puede ser una primitiva de $x^7$.

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   Deriva la respuesta correcta.

   $\frac{d}{dx}\left(\frac{x^8}{8}+C\right)=\frac{8x^7}{8}=x^7$

   El $8$ del denominador es exactamente lo que cancela el $8$ que produce la regla de la potencia al derivar, y ese es el motivo por el que se divide entre el nuevo exponente. La respuesta es $\frac{x^8}{8}+C$.