Hallar el límite de (√(4 − x) − 3)/(x² + 7x + 10) cuando x tiende a −5.

Step-by-step solution

1. 1

   Confirmar la forma indeterminada. En $x=-5$ el numerador vale $\sqrt{5+4}-3=\sqrt9-3=0$, y el denominador vale $25-35+10=0$. Así que el cociente es del tipo $\tfrac00$, lo que significa que un factor $(x+5)$ divide a ambas partes y hay que cancelarlo antes de sustituir.

2. 2

   Factorizar el denominador. Dos números con producto $10$ y suma $7$ son $5$ y $2$:

   $x^{2}+7x+10=(x+5)(x+2)$

   El factor $(x+5)$ ya está explícito; falta producir uno igual arriba.

3. 3

   Multiplicar por el conjugado del numerador. Usando $\left(\sqrt{u}-3\right)\left(\sqrt{u}+3\right)=u-9$ con $u=4-x$:

   $\left(\sqrt{4-x}-3\right)\left(\sqrt{4-x}+3\right)=(4-x)-9=-x-5=-(x+5)$

   El radical desaparece y aparece el $(x+5)$ esperado, con un signo menos que hay que arrastrar.

4. 4

   Cancelar y simplificar. El cociente queda

   $\frac{-(x+5)}{(x+5)(x+2)\left(\sqrt{4-x}+3\right)}=\frac{-1}{(x+2)\left(\sqrt{4-x}+3\right)}$

   válido para $x\neq-5$, que es exactamente el entorno perforado que examina un límite. Esta forma se contrastó con la original en $x=-6,-5.1,-4.9,-4$ hasta $10^{-8}$ ✓.

5. 5

   Sustituir en la expresión simplificada. Es continua en $x=-5$:

   $\frac{-1}{(-5+2)\left(\sqrt{9}+3\right)}=\frac{-1}{(-3)(6)}=\frac{1}{18}$

   Los dos signos negativos se cancelan, así que el límite es positivo.

6. 6

   Verificar numéricamente. En $x=-5\pm10^{-5}$ el cociente original vale $0.05555576$ y $0.05555535$, que rodean a $\tfrac1{18}=0.0555556$ ✓. Los dos límites laterales coinciden, así que el límite existe y vale $\tfrac{1}{18}$.