Halla la suma de la serie n/(n+1)! para n desde 1 hasta infinito.

Step-by-step solution

1. 1

   Separa el numerador para que encaje con el factorial de abajo. El obstáculo es que $n$ y $(n+1)!$ están desfasados. Escribir $n = (n+1) - 1$ lo arregla:

   $\frac{n}{(n+1)!} = \frac{(n+1) - 1}{(n+1)!} = \frac{n+1}{(n+1)!} - \frac{1}{(n+1)!}$

2. 2

   Simplifica la primera pieza. Como $(n+1)! = (n+1)\cdot n!$, el factor $(n+1)$ se cancela:

   $\frac{n+1}{(n+1)!} = \frac{1}{n!}$

   de modo que el término general se convierte en una diferencia de factoriales recíprocos consecutivos:

   $\frac{n}{(n+1)!} = \frac{1}{n!} - \frac{1}{(n+1)!}$

3. 3

   Escribe la suma parcial y observa cómo se cancela el interior. Con $a_n = \tfrac{1}{n!}$ el término es $a_n - a_{n+1}$, así que

   $S_N = \sum_{n=1}^{N}\left(\frac{1}{n!} - \frac{1}{(n+1)!}\right) = \frac{1}{1!} - \frac{1}{(N+1)!}$

   Cada término interior aparece una vez con cada signo. Eso es lo que hace que la serie sea telescópica y no meramente convergente.

4. 4

   Toma el límite. Los factoriales crecen más rápido que cualquier potencia, así que $\frac{1}{(N+1)!} \to 0$ y

   $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{(n+1)!} = \lim_{N\to\infty} S_N = 1$

5. 5

   Contrasta numéricamente. Los cinco primeros términos son $\tfrac12 + \tfrac{2}{6} + \tfrac{3}{24} + \tfrac{4}{120} + \tfrac{5}{720} = 0.5 + 0.333333 + 0.125 + 0.033333 + 0.006944 = 0.998611$, y $1 - \tfrac{1}{6!} = 1 - 0.001389 = 0.998611$ exactamente, lo que coincide con la forma cerrada de $S_5$.