Halla el intervalo de convergencia de la suma desde n = 1 hasta infinito de (−1)ⁿ (1/n − 1/(n+2)) xⁿ.

Step-by-step solution

1. 1

   Reunir el coeficiente en una sola fracción. Sobre el común denominador $n(n+2)$:

   $\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}=\frac{(n+2)-n}{n(n+2)}=\frac{2}{n(n+2)}$

   Verificado exactamente para todo $n$ hasta $59$ ✓. Esta forma deja a la vista la velocidad de decaimiento, que la diferencia original oculta.

2. 2

   Absorber el signo en la variable. Como $(-1)^{n}x^{n}=(-x)^{n}$, la serie es

   $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2}{n(n+2)}(-x)^{n}$

   una serie de potencias en $-x$ con coeficientes positivos — más fácil de analizar, y de todos modos el intervalo en $x$ saldrá simétrico.

3. 3

   Hallar el radio con el criterio del cociente. Con $c_{n}=\dfrac{2}{n(n+2)}$,

   $\left|\frac{c_{n+1}}{c_{n}}\right|=\frac{n(n+2)}{(n+1)(n+3)}\longrightarrow1$

   (numéricamente $0.8392$ en $n=10$, $0.98049$ en $n=100$, $0.998005$ en $n=1000$ ✓). Así que el radio de convergencia es $R=1$: la serie converge para $|x|<1$ y diverge para $|x|>1$. Los extremos requieren un tratamiento aparte.

4. 4

   Probar $x=1$. Los términos quedan $\dfrac{2(-1)^{n}}{n(n+2)}$, y como

   $\frac{2}{n(n+2)}\sim\frac{2}{n^{2}}$

   la comparación con la serie $p$ convergente $\sum n^{-2}$ ($p=2>1$) muestra que la serie converge absolutamente ✓.

5. 5

   Probar $x=-1$. Ahora $(-x)^{n}=1$, así que la serie es la suma telescópica de términos positivos

   $\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}\right)=1+\frac12=\frac32$

   ya que todos los términos intermedios se cancelan y $\tfrac{1}{n+1}+\tfrac{1}{n+2}\to0$. Una suma parcial hasta $n=19999$ da $1.49990$ ✓, lo que confirma la convergencia a $\tfrac32$.

6. 6

   Enunciar el intervalo. Ambos extremos convergen, así que

   $[-1,1]$

   es el intervalo de convergencia — un intervalo cerrado, que es lo que compra el decaimiento de tipo $1/n^{2}$ de los coeficientes. Unos coeficientes que decayeran solo como $1/n$ habrían dado en cambio un intervalo semiabierto.