Evalúa la integral de 2 dy dividido entre −2y.

Step-by-step solution

1. 1

   Cancelar primero las constantes numéricas. El $2$ de arriba y el $-2$ de abajo se reducen a $-1$:

   $\int \frac{2}{-2y}\,dy = \int \left(-\frac{1}{y}\right)dy$

   Hacer esto antes de integrar evita arrastrar factores a lo largo de la primitiva.

2. 2

   Sacar la constante. Las constantes salen fuera de la integral:

   $\int \left(-\frac{1}{y}\right)dy = -\int \frac{1}{y}\,dy$

3. 3

   Aplicar la regla del recíproco.

   $\int \frac{1}{y}\,dy = \ln|y| + C$

   El valor absoluto importa: $\tfrac1y$ también está definido para $y$ negativo, y ahí $\tfrac{d}{dy}\ln(-y) = \tfrac{-1}{-y} = \tfrac1y$. Escribir solo $\ln y$ restringiría la respuesta a $y > 0$. Nota además que la regla de la potencia $\int y^n dy = \tfrac{y^{n+1}}{n+1}$ falla aquí porque con $n = -1$ se dividiría entre cero.

4. 4

   Armar la respuesta.

   $\int \frac{2\,dy}{-2y} = -\ln|y| + C$

5. 5

   Comprobar derivando y anotar una forma equivalente. $\tfrac{d}{dy}\left(-\ln|y|\right) = -\tfrac1y$, que coincide con el integrando. El resultado también se puede escribir $\ln\left|\tfrac{1}{y}\right| + C$, ya que $-\ln|y| = \ln|y|^{-1}$. Esta integral es exactamente el lado izquierdo que aparece al separar variables en la ecuación de decaimiento $\tfrac{dy}{dx} = -2y$.