Hallar la integral indefinida de (1 − u²) dividido entre (a − b u²) elevado a la potencia 3/2, respecto de u.

Step-by-step solution

1. 1

   Construir la primitiva clave derivando una conjetura. En lugar de una sustitución trigonométrica, se deriva $\dfrac{u}{\sqrt{a-bu^2}}$ con la regla del producto:

   $\frac{d}{du}\left[u(a-bu^2)^{-1/2}\right]=\frac{1}{\sqrt{a-bu^2}}+\frac{bu^2}{(a-bu^2)^{3/2}}=\frac{a}{(a-bu^2)^{3/2}}$

   De donde

   $\int\frac{du}{(a-bu^2)^{3/2}}=\frac{u}{a\sqrt{a-bu^2}}$

2. 2

   Separar el numerador.

   $\int\frac{1-u^2}{(a-bu^2)^{3/2}}\,du=\int\frac{du}{(a-bu^2)^{3/2}}-\int\frac{u^2\,du}{(a-bu^2)^{3/2}}$

   La primera parte ya está resuelta; solo falta trabajar la parte con $u^2$.

3. 3

   Convertir $u^2$ en la propia expresión del denominador. La identidad

   $u^2=\frac{a-(a-bu^2)}{b}$

   permite escribir

   $\frac{u^2}{(a-bu^2)^{3/2}}=\frac{a}{b(a-bu^2)^{3/2}}-\frac{1}{b\sqrt{a-bu^2}}$

   En esto consiste todo el truco: convierte un numerador incómodo en dos integrales que ya reconocemos, y evita cualquier sustitución trigonométrica.

4. 4

   Reunir las piezas. Usando el resultado del paso 1 y $\displaystyle\int\frac{du}{\sqrt{a-bu^2}}=\frac{1}{\sqrt b}\arcsin\!\left(u\sqrt{\tfrac{b}{a}}\right)$:

   $I=\frac{u}{a\sqrt{a-bu^2}}-\frac{u}{b\sqrt{a-bu^2}}+\frac{1}{b\sqrt b}\arcsin\!\left(u\sqrt{\tfrac{b}{a}}\right)+C$

   Combinar los dos primeros términos sobre $ab$ da el coeficiente $\dfrac{b-a}{ab}$.

5. 5

   Verificar derivando la respuesta. Se toman los valores concretos $a=2$, $b=0.7$. Derivar numéricamente la forma cerrada en $u=0.1$ da $0.3518635229$, y el integrando $(1-u^2)/(a-bu^2)^{3/2}$ en $u=0.1$ vale $0.3518635229$ ✓. En $u=0.5$ ambos dan $0.3042054288$ ✓. La primitiva es correcta.