Evaluar la integral de (x + 3) respecto de x.

Step-by-step solution

1. 1

   Separar la integral con la regla de la suma. La integración es lineal, así que una suma se puede tratar término a término:

   $\int(x+3)\,dx=\int x\,dx+\int 3\,dx$

2. 2

   Integrar el término lineal con la regla de la potencia. Aquí $n=1$, de modo que $n+1=2$:

   $\int x\,dx=\frac{x^{2}}{2}$

3. 3

   Integrar la constante. Una constante $k$ es $kx^0$, y la regla de la potencia la lleva a $kx$:

   $\int 3\,dx=3x$

   La intuición: la función cuya pendiente vale constantemente $3$ es una recta de pendiente $3$.

4. 4

   Combinar, sumando una sola constante de integración. Dos constantes separadas se fundirían en una de todos modos:

   $\int(x+3)\,dx=\frac{x^2}{2}+3x+C$

5. 5

   Comprobar derivando. $\tfrac{d}{dx}\left(\tfrac{x^2}{2}+3x+C\right)=x+3$ $\checkmark$. Una comprobación numérica en $x=1.3$: el cociente de diferencias de $\tfrac{x^2}{2}+3x$ da $4.300$, y el integrando vale $1.3+3=4.3$ $\checkmark$.