Evalúa el límite de (√(x + 5) − 3)/(x − 4) cuando x tiende a 4.

Step-by-step solution

1. 1

   Verifica que de verdad es 0/0. En $x=4$, $\sqrt{9}-3=0$ y $4-4=0$. Como aquí el radical vale exactamente la constante, el truco del conjugado funcionará — a diferencia de los casos en que el numerador tiende a un valor distinto de cero.

2. 2

   Multiplica por el conjugado. Multiplica numerador y denominador por $\sqrt{x+5}+3$, que nunca es cero cerca de $x=4$.

3. 3

   Simplifica el numerador. $\left(\sqrt{x+5}\right)^2-3^2=(x+5)-9=x-4$, de modo que el cociente es $\frac{x-4}{(x-4)\left(\sqrt{x+5}+3\right)}$.

4. 4

   Cancela y reduce. Para $x\neq 4$ esto es $\frac{1}{\sqrt{x+5}+3}$, una función que es continua en $x=4$.

5. 5

   Sustituye. $\frac{1}{\sqrt{9}+3}=\frac{1}{3+3}=\frac{1}{6}$.

6. 6

   Comprobación numérica. Evaluar la expresión original en $x=4+10^{-8}$ da $0.1666667$, que coincide con $\frac{1}{6}$.