Reescribe ln(x + √(a + x²)) en términos del seno hiperbólico inverso, suponiendo a > 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Fíjate en qué se diferencia esta versión. La identidad estándar

   $\operatorname{arsinh}(u)=\ln\left(u+\sqrt{u^{2}+1}\right)$

   espera que la constante bajo la raíz sea $1$. Aquí la constante es $a$ misma, no $a^{2}$, así que el factor de escala que la normaliza es $\sqrt a$ y no $a$ — y esa sola diferencia cambia la constante aditiva del final.

2. 2

   Saca $a$ como factor de la raíz cuadrada. Para $a>0$,

   $\sqrt{x^{2}+a}=\sqrt{a\left(\frac{x^{2}}{a}+1\right)}=\sqrt a\,\sqrt{\left(\frac{x}{\sqrt a}\right)^{2}+1}$

   escribiendo $\dfrac{x^{2}}{a}=\left(\dfrac{x}{\sqrt a}\right)^{2}$ para hacer visible la forma requerida.

3. 3

   Saca $\sqrt a$ como factor de todo el argumento.

   $x+\sqrt{x^{2}+a}=\sqrt a\left(\frac{x}{\sqrt a}+\sqrt{\left(\frac{x}{\sqrt a}\right)^{2}+1}\right)$

   El paréntesis es ahora, literalmente, el argumento de la identidad del arsinh con $u=\dfrac{x}{\sqrt a}$.

4. 4

   Separa el logaritmo del producto. Usando $\ln(MN)=\ln M+\ln N$,

   $\ln\left(x+\sqrt{x^{2}+a}\right)=\ln\sqrt a+\operatorname{arsinh}\left(\frac{x}{\sqrt a}\right)$

5. 5

   Simplifica la constante. Como $\ln\sqrt a=\ln a^{1/2}=\tfrac12\ln a$,

   $\ln\left(x+\sqrt{a+x^{2}}\right)=\operatorname{arsinh}\left(\frac{x}{\sqrt a}\right)+\frac12\ln a$

   Compárala con la versión con $a^{2}$, donde la constante es un $\ln a$ completo: el exponente bajo la raíz se reduce a la mitad, y el logaritmo también.

6. 6

   Verifica numéricamente. Con $a=2.7$, $x=1.3$: el miembro izquierdo vale $\ln\left(1.3+\sqrt{2.7+1.69}\right)=1.2223723$, y $\operatorname{arsinh}\left(1.3/1.64317\right)+\tfrac12\ln 2.7=0.72575+0.49663=1.2223723$ ✓.