Simplifica y factoriza (y')² - 4x²y' + 4x⁴ - x², y usa después la factorización para resolver la ecuación diferencial que resulta de igualarla a cero.

Step-by-step solution

1. 1

   Trata a $y'$ como la variable y reconoce un cuadrado perfecto. Agrupando los tres primeros términos,

   $(y')^2-4x^2y'+4x^4=(y'-2x^2)^2$

   porque $2\cdot y'\cdot 2x^2=4x^2y'$ y $(2x^2)^2=4x^4$. El término sobrante es solo $-x^2$.

2. 2

   Reconoce la diferencia de cuadrados. La expresión es ahora

   $(y'-2x^2)^2-x^2=\bigl(y'-2x^2-x\bigr)\bigl(y'-2x^2+x\bigr)$

   usando $A^2-B^2=(A-B)(A+B)$ con $A=y'-2x^2$ y $B=x$.

3. 3

   Verifica la factorización desarrollando. Al multiplicar, $(y'-2x^2)^2-x^2=(y')^2-4x^2y'+4x^4-x^2$, que es la expresión original. Una comprobación numérica puntual con $y'=1.4$, $x=0.7$ da $-1.5906$ en ambos lados.

4. 4

   Iguala cada factor a cero para separar la ecuación diferencial. Un producto es cero cuando lo es alguno de sus factores, así que la única ecuación diferencial cuadrática se separa en dos sencillas:

   $y'=2x^2+x\qquad\text{o}\qquad y'=2x^2-x$

5. 5

   Integra cada rama.

   $y=\frac{2x^3}{3}+\frac{x^2}{2}+C\qquad\text{o}\qquad y=\frac{2x^3}{3}-\frac{x^2}{2}+C$

   Dos familias de un parámetro, como era de esperar: la ecuación es cuadrática en $y'$, así que en cada punto hay dos pendientes admisibles.

6. 6

   Comprueba una solución en la ecuación original. Para $y=\tfrac{2x^3}{3}+\tfrac{x^2}{2}$ se tiene $y'=2x^2+x$, de modo que $y'-2x^2=x$ y

   $(y'-2x^2)^2-x^2=x^2-x^2=0\ \checkmark$

   El mismo argumento con $y'-2x^2=-x$ cubre la otra familia.